Quatrième · Chapitre 10

Fonctions linéaires et affines

Cours de Quatrième sur les fonctions linéaires et affines : notation f de x, image et antécédent, coefficient directeur, ordonnée à l'origine, représentation graphique. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de quatrième · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Proportionnalité et vitesses

Quand tu calcules le prix d’un abonnement streaming « 5 € plus 2 € par mois », le total de gemmes que tu reçois en achetant plusieurs packs, ou la data qu’il te reste sur ton forfait, tu manipules une fonction. En Quatrième, tu apprends à écrire ces situations avec la notation $f(x)$ , à distinguer les fonctions linéaires (de la proportionnalité pure) des fonctions affines (avec un montant fixe en plus), et à les lire sur un graphique.

Ce que tu sauras faire

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

comprendre la notation $f(x)$ et calculer l’image d’un nombre ;
retrouver un antécédent à partir d’une image ;
reconnaître une fonction linéaire ( $f(x) = ax$ ) et une fonction affine ( $f(x) = ax + b$ ) ;
identifier le coefficient directeur $a$ et l’ordonnée à l’origine $b$ ;
tracer la représentation graphique d’une fonction linéaire ou affine (une droite).

À quoi ça sert vraiment ?

Une fonction, c’est une machine : tu entres un nombre, elle en ressort un autre, toujours selon la même règle.

Sur EA FC, si un pack coûte $3$ pièces et que tu en achètes $x$ , la dépense suit la fonction $f(x) = 3x$ : c’est une fonction linéaire (de la proportionnalité).
Un abonnement « $5$ € puis $2$ € par mois » suit $c(x) = 2x + 5$ : c’est une fonction affine, parce qu’il y a un montant de départ fixe.

Savoir reconnaître ces deux modèles, c’est pouvoir comparer deux offres et choisir la plus avantageuse sans te faire avoir.

Fonction, image et antécédent

Une fonction $f$ associe à un nombre $x$ un seul nombre noté $f(x)$ .

$f(x)$ se lit « $f$ de $x$ » et s’appelle l’image de $x$ par la fonction $f$ .
Si $f(x) = y$ , on dit que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$ .

Par exemple, pour la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x$ : l’image de $4$ est $f(4) = 3 \times 4 = 12$ , et on dit que $4$ est un antécédent de $12$ .

Image ou antécédent : dans quel sens ?

Image : on te donne $x$ (le nombre de départ), tu calcules en remplaçant. C’est direct.
Antécédent : on te donne le résultat $f(x)$ , tu cherches le nombre de départ. Il faut souvent résoudre une équation.

Moyen mnémotechnique : l’antécédent arrive avant (c’est l’entrée de la machine), l’image sort après.

Fonction linéaire

Une fonction linéaire est une fonction de la forme $f(x) = ax,$ où $a$ est un nombre fixé appelé coefficient de la fonction.

Une fonction linéaire traduit toujours une situation de proportionnalité : le coefficient $a$ joue le rôle du coefficient de proportionnalité. Par exemple, $f(x) = 3x$ modélise « $3$ pièces par pack ».

Fonction affine

Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x) = ax + b,$ où $a$ et $b$ sont deux nombres fixés.

$a$ est le coefficient directeur ;
$b$ est l’ordonnée à l’origine (la valeur de la fonction quand $x = 0$ , car $f(0) = a \times 0 + b = b$ ).

Par exemple, $g(x) = 2x + 1$ est affine avec $a = 2$ et $b = 1$ .

Linéaire, un cas particulier d'affine

Une fonction linéaire $f(x) = ax$ est une fonction affine particulière : celle où $b = 0$ .

Pour distinguer les deux, regarde le terme constant $b$ :

si $b = 0$ (rien d’ajouté) : la fonction est linéaire (et donc aussi affine) ;
si $b \neq 0$ (un nombre est ajouté) : la fonction est affine mais pas linéaire.

Calculer une image

On veut calculer $f(\text{nombre})$ .

Repérer l’expression de la fonction, par exemple $f(x) = 2x + 1$ .
Remplacer chaque $x$ par le nombre demandé (en gardant le signe $\times$ ).
Effectuer le calcul en respectant les priorités (la multiplication avant l’addition).

Exemple : pour $f(x) = 2x + 1$ , calculons $f(5)$ : $f(5) = 2 \times 5 + 1 = 10 + 1 = 11$ . L’image de $5$ est donc $11$ .

Chercher un antécédent

On veut trouver le nombre $x$ dont l’image vaut une valeur donnée.

Écrire l’équation $f(x) = \text{valeur}$ . Par exemple, pour $f(x) = 2x + 1$ , chercher l’antécédent de $11$ revient à résoudre $2x + 1 = 11$ .
Résoudre l’équation étape par étape : $2x = 11 - 1 = 10$ , donc $x = \dfrac{10}{2} = 5$ .
L’antécédent cherché est $5$ .

On peut vérifier : $f(5) = 2 \times 5 + 1 = 11$ . C’est cohérent.

Représentation graphique

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction affine $f(x) = ax + b$ est une droite.

Le coefficient directeur $a$ mesure la pente : quand on avance de $1$ vers la droite, la droite monte de $a$ (ou descend si $a$ est négatif).
L’ordonnée à l’origine $b$ est la hauteur à laquelle la droite coupe l’axe des ordonnées (l’axe vertical).

Cas particulier : si $f$ est linéaire ( $b = 0$ ), la droite passe par l’origine du repère, le point de coordonnées $(0\,;0)$ .

Tracer la droite d'une fonction linéaire ou affine

Deux points suffisent pour tracer une droite.

Choisir deux valeurs de $x$ simples (souvent $0$ et une autre).
Calculer leurs images pour obtenir deux points de coordonnées $(x\,;f(x))$ .
Placer ces deux points dans le repère, puis tracer la droite qui les relie (avec la règle).

Exemple pour $f(x) = 2x$ : $f(0) = 0$ donne le point $(0\,;0)$ , et $f(3) = 2 \times 3 = 6$ donne le point $(3\,;6)$ . On relie ces deux points : la droite passe bien par l’origine, car la fonction est linéaire.

Les pièges à éviter

Confondre image et antécédent. ~~« L’antécédent de $4$ par $f(x) = 3x$ est $12$ . »~~ FAUX. $12$ est l’image de $4$ . L’antécédent part du résultat : un antécédent de $12$ est $4$ (on résout $3x = 12$ ).
Croire que toute fonction affine est linéaire. ~~« $g(x) = 2x + 1$ est linéaire. »~~ FAUX. Comme $b = 1 \neq 0$ , la fonction $g$ est affine mais pas linéaire ; seule $f(x) = ax$ (sans terme ajouté) est linéaire.
Oublier les priorités dans le calcul d’image. Pour $f(x) = 2x + 1$ , on a ~~$f(5) = 2 \times (5 + 1) = 12$~~ FAUX. On multiplie d’abord : $f(5) = 2 \times 5 + 1 = 11$ .
Oublier que la droite d’une linéaire passe par l’origine. Si $f(x) = ax$ , le point $(0\,;0)$ est toujours sur la droite : c’est un repère précieux pour tracer.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer le prix de 4 packs sur EA FC

Sur EA FC, chaque pack coûte $3$ pièces. La dépense en pièces pour $x$ packs est donnée par la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x$ . Calculer $f(4)$ , c'est-à-dire le prix de $4$ packs.

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Reconnaître une fonction linéaire ou affine

On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = 2x + 1$ . Cette fonction est-elle linéaire ou affine ? Préciser son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.

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Combien de paires pour dépenser 90 €

Sur un site de sneakers, chaque paire coûte $45$ €, livraison comprise. La dépense en euros pour $x$ paires est donnée par la fonction linéaire $f$ définie par $f(x) = 45x$ . Léa a dépensé $90$ € sur ce site. Combien de paires a-t-elle achetées, autrement dit quel est l'antécédent de $90$ par la fonction $f$ ?

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Exprimer le coût d'un abonnement streaming

Une plateforme de streaming propose un abonnement avec des frais d'inscription de $5$ € payés une seule fois, puis $2$ € par mois. On note $x$ le nombre de mois d'abonnement et $c$ le coût total en euros. Exprimer $c$ en fonction de $x$ , puis calculer le coût total pour $6$ mois.

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Stockage cloud : image et antécédent

Un service de stockage cloud occupe déjà $4$ Go avec l'application, puis ajoute $2$ Go par mois de sauvegardes. L'espace utilisé en gigaoctets après $x$ mois est donné par la fonction affine $f$ définie par $f(x) = 2x + 4$ . Calculer $f(5)$ et interpréter le résultat, puis déterminer après combien de mois l'espace utilisé atteint $20$ Go, c'est-à-dire l'antécédent de $20$ .

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Tracer la représentation graphique d'une fonction linéaire

On considère la fonction linéaire $f$ définie par $f(x) = 2x$ . Construire un tableau de valeurs pour $x = 0$ , $x = 1$ et $x = 3$ , puis expliquer comment tracer sa représentation graphique dans un repère.

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Bonus

Comparer deux offres de streaming

Deux plateformes de streaming proposent chacune une offre. L'offre A coûte $8$ € par mois, sans frais d'inscription. L'offre B coûte $4$ € de frais d'inscription (une seule fois) puis $3$ € par mois. On note $x$ le nombre de mois. Exprimer le coût de chaque offre en fonction de $x$ , représenter les deux situations, puis déterminer à partir de combien de mois l'offre A devient plus avantageuse (moins chère) que l'offre B.

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Retrouver le tarif d'un atelier de customisation

Un atelier customise des paires de sneakers. Le tarif suit une fonction affine $p$ : il comprend des frais fixes de préparation, plus un prix identique par paire. Un client a payé $34$ € pour $2$ paires customisées, et un autre $64$ € pour $5$ paires. On note $p(x) = ax + b$ le prix en euros pour $x$ paires. Déterminer les coefficients $a$ et $b$ , puis calculer le prix pour $8$ paires.

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une fonction affine ?

Une fonction linéaire s'écrit f de x égale a fois x : elle traduit une situation de proportionnalité et sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère. Une fonction affine s'écrit f de x égale a fois x plus b : on ajoute un nombre fixe b. Sa représentation est aussi une droite, mais qui coupe l'axe des ordonnées à la hauteur b. Une fonction linéaire est donc une fonction affine particulière, celle où b vaut zéro.

Quelle est la différence entre une image et un antécédent ?

L'image d'un nombre est le résultat que la fonction renvoie : pour la fonction f de x égale 3 fois x, l'image de 4 est 12, car 3 fois 4 fait 12. L'antécédent fait le chemin inverse : on connaît le résultat et on cherche le nombre de départ. Un antécédent de 12 par cette fonction est 4. En résumé, on calcule une image en remplaçant x, et on cherche un antécédent en résolvant une équation.

Que représentent le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine ?

Pour une fonction affine f de x égale a fois x plus b, le nombre a est le coefficient directeur : il indique de combien la droite monte ou descend quand on avance de 1 vers la droite. Le nombre b est l'ordonnée à l'origine : c'est la hauteur à laquelle la droite coupe l'axe vertical, autrement dit la valeur de la fonction quand x vaut zéro.