Seconde · Chapitre 1

Puissances et racines carrées

Cours de Seconde sur les puissances et les racines carrées : règles de calcul, notation scientifique et simplification de racines, avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Seconde générale et technologique · Mis à jour en juin 2026

Les puissances permettent d’écrire de façon compacte un produit de facteurs identiques, et la racine carrée est l’opération qui « annule » un carré. Ce chapitre rassemble toutes les règles de calcul, la notation scientifique pour les très grands ou très petits nombres, et les techniques pour simplifier une racine.

Puissances d’un réel

Puissance d'un réel

Soit $a$ un réel et $n$ un entier naturel non nul. La puissance $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ : $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}$ De plus, pour tout réel $a \neq 0$ : $a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$

Règles de calcul sur les puissances

Pour tous réels $a \neq 0$ , $b \neq 0$ et tous entiers relatifs $m$ , $n$ : $a^m \times a^n = a^{m + n} \qquad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$ $\left(a^m\right)^n = a^{m \, n} \qquad a^n \times b^n = (ab)^n$

Notation scientifique

La notation scientifique d’un nombre est son écriture sous la forme $a \times 10^n$ où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \le a < 10$ et $n$ un entier relatif. Elle est commode pour les très grands ou très petits nombres : $42\,500 = 4{,}25 \times 10^4$ et $0{,}00038 = 3{,}8 \times 10^{-4}$ .

Racine carrée

Racine carrée d'un réel positif

Soit $a$ un réel positif ( $a \ge 0$ ). La racine carrée de $a$ , notée $\sqrt{a}$ , est l’unique réel positif dont le carré vaut $a$ . $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a \qquad \sqrt{a^2} = |a|$ La seconde égalité s’écrit avec une valeur absolue : $\sqrt{a^2} = a$ uniquement lorsque $a \ge 0$ .

Règles de calcul sur les racines

Pour tous réels $a \ge 0$ et $b \ge 0$ : $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ et, si de plus $b \neq 0$ : $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Simplifier une racine carrée

Pour simplifier $\sqrt{n}$ , on décompose $n$ en faisant apparaître le plus grand carré parfait qui le divise, puis on sort ce carré de la racine.

Exemple avec $\sqrt{72}$ :

On repère le plus grand carré parfait diviseur : $72 = 36 \times 2$ .
On sépare : $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2}$ .
On conclut : $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ .

L'erreur à éviter

En général, $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . Par exemple : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \quad \text{alors que} \quad \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7.$ La racine carrée ne se « distribue » pas sur une addition.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer avec les règles des puissances

Écrire les expressions suivantes sous la forme d'une seule puissance, puis donner leur valeur entière : $A = \dfrac{2^5 \times 2^3}{2^4}$ et $B = \left(5^2\right)^3 \times 5^{-4}$ .

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Capacité d'une carte mémoire en notation scientifique

Tu installes le jeu EA FC sur une carte mémoire de $128$ Go. On rappelle que $1$ Go correspond à $10^9$ octets. 1) Écris la capacité totale de la carte, en octets, en notation scientifique (forme $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$ ). 2) Une mise à jour pèse $0{,}004$ Go. Écris ce poids en Go en notation scientifique.

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Écrire un nombre en notation scientifique

Écrire les nombres suivants en notation scientifique, c'est-à-dire sous la forme $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$ : $p = 42\,500$ et $q = 0{,}00038$ .

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Diagonale d'un écran de smartphone

L'écran rectangulaire d'un smartphone mesure $12$ cm de large et $6$ cm de haut. La diagonale $d$ de l'écran vérifie $d^2 = 12^2 + 6^2$ . 1) Détermine la valeur exacte de $d$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ entier le plus petit possible. 2) Donne la valeur approchée de $d$ au dixième de centimètre (on prendra $\sqrt{5} \approx 2{,}236$ ).

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Produit et quotient de racines carrées

Simplifier les expressions suivantes en utilisant les règles de calcul sur les racines : $A = \sqrt{6} \times \sqrt{8}$ et $B = \dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}$ .

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Simplifier une racine carrée

Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ entier le plus petit possible : $\sqrt{50}$ et $\sqrt{72}$ .

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Nombre de serveurs d'une plateforme de streaming

Une plateforme de streaming héberge $2{,}4 \times 10^4$ heures de vidéo. Chaque heure occupe en moyenne $3 \times 10^9$ octets de stockage. 1) Calcule la quantité totale d'octets stockés et donne le résultat en notation scientifique. 2) Chaque serveur peut stocker $1{,}2 \times 10^{12}$ octets. Combien de serveurs entièrement remplis cela représente-t-il ?

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Bonus

Somme de racines et rationalisation (bonus)

Écrire sous la forme $a\sqrt{2}$ l'expression $C = \sqrt{8} + \sqrt{18} - \dfrac{6}{\sqrt{2}}$ .

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Que valent a puissance zéro et a puissance moins n ?

Pour tout réel a non nul, a puissance zéro égale 1 et a puissance moins n égale 1 divisé par a puissance n. Une puissance négative correspond donc à l'inverse de la puissance positive.

Comment écrire un nombre en notation scientifique ?

On l'écrit sous la forme a × 10 puissance n où a est un décimal vérifiant 1 ≤ a < 10 et n un entier relatif. Exemple : 42 500 = 4,25 × 10 puissance 4.

A-t-on √(a + b) = √a + √b ?

Non, c'est faux en général. Par exemple √(9 + 16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 3 + 4 = 7. La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines.