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Rêves Vision

Cinquième · Chapitre 11

Aires et volumes

Cours de Cinquième sur les aires et les volumes : aire du triangle, du parallélogramme et du disque, volume du prisme droit et du cylindre, patrons, conversions et litres. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de cinquième (programme 2026) · Mis à jour en juin 2026

Quelle quantité de soda tient dans une canette ? Combien de carton faut-il pour fabriquer une boîte de sneakers ? Quelle est la surface d’une part de pizza ? Toutes ces questions reposent sur deux idées : l’aire, qui mesure une surface plate, et le volume, qui mesure la place prise dans l’espace. Ce chapitre t’apprend à calculer l’aire d’un triangle, d’un parallélogramme et d’un disque, à trouver le volume d’un prisme droit et d’un cylindre, et à passer des litres aux centimètres cubes.

Mes objectifs

À la fin de ce chapitre, je sais :

  • calculer l’aire d’un triangle et l’aire d’un parallélogramme ;
  • calculer l’aire d’un disque à partir de son rayon ;
  • reconnaître un prisme droit et un cylindre, et savoir lire leur patron ;
  • calculer le volume d’un prisme droit et d’un cylindre avec la formule aire de base multipliée par hauteur ;
  • convertir des volumes (cm3, dm3) et passer aux litres et millilitres.

À quoi ça sert ?

Calculer une aire, c’est savoir combien de surface occupe quelque chose : la part de pizza que tu manges, l’écran de ton smartphone, le terrain de basket. Calculer un volume, c’est savoir combien ça contient : le soda dans une canette, l’eau dans une gourde, le nombre de Go qui tiennent dans un disque. Et passer des litres aux centimètres cubes te permet de comparer la contenance d’un berlingot, d’une bouteille ou d’un gobelet de stream. Bref, ce sont des maths que tu utilises sans même t’en rendre compte.

1. Aires usuelles

Aire d'un triangle

L’aire d’un triangle est égale à la base multipliée par la hauteur relative à cette base, le tout divisé par 22 : Aire=base×hauteur2\text{Aire} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}

La hauteur est la distance entre la base et le sommet opposé, mesurée perpendiculairement à la base. Base et hauteur doivent être dans la même unité.

Exemple : un triangle de base 88 cm et de hauteur 55 cm a pour aire 8×52=402=20\dfrac{8 \times 5}{2} = \dfrac{40}{2} = 20 cm2.

Aire d'un parallélogramme

L’aire d’un parallélogramme est égale à sa base multipliée par sa hauteur : Aire=base×hauteur\text{Aire} = \text{base} \times \text{hauteur}

Là encore, la hauteur est mesurée perpendiculairement à la base, et non le long du côté incliné.

Exemple : un parallélogramme de base 77 cm et de hauteur 44 cm a pour aire 7×4=287 \times 4 = 28 cm2.

Le triangle, c'est la moitié du parallélogramme

Pourquoi divise-t-on par 22 pour le triangle ? Parce qu’avec deux triangles identiques, tu peux reconstituer un parallélogramme de même base et de même hauteur. Un triangle, c’est donc exactement la moitié du parallélogramme correspondant. Si tu retiens la formule du parallélogramme (base×hauteur\text{base} \times \text{hauteur}), tu retrouves celle du triangle en divisant par 22.

Rayon, diamètre et le nombre pi

Dans un disque, le rayon rr est la distance du centre au bord. Le diamètre est la distance d’un bord à l’autre en passant par le centre : il vaut le double du rayon (diameˋtre=2×r\text{diamètre} = 2 \times r).

Le nombre π\pi (pi) est un nombre un peu particulier, toujours le même, dont une valeur approchée est π≈3,14\pi \approx 3{,}14. On l’utilise dès qu’il y a un cercle ou un disque.

Aire d'un disque

L’aire d’un disque de rayon rr est égale au nombre π\pi multiplié par le rayon au carré : Aire=π×r2\text{Aire} = \pi \times r^2

On prend en général π≈3,14\pi \approx 3{,}14. Attention : on utilise le rayon, pas le diamètre.

Exemple : un disque de rayon 55 cm a pour aire π×52=π×25≈3,14×25=78,5\pi \times 5^2 = \pi \times 25 \approx 3{,}14 \times 25 = 78{,}5 cm2.

Le piège du rayon et du diamètre

On veut l’aire d’un disque de diamètre 1010 cm.

FAUX : Aire=π×102≈3,14×100=314\text{Aire} = \pi \times 10^2 \approx 3{,}14 \times 100 = 314 cm2 (on a utilisé le diamètre dans la formule).

VRAI : la formule utilise le rayon. Ici le rayon vaut la moitié du diamètre, soit r=102=5r = \frac{10}{2} = 5 cm, donc Aire=π×52≈3,14×25=78,5 cm2.\text{Aire} = \pi \times 5^2 \approx 3{,}14 \times 25 = 78{,}5 \text{ cm}^2.

Retiens : avant de calculer l’aire d’un disque, vérifie toujours que tu as bien le rayon.

2. Prismes droits, cylindres et patrons

Prisme droit et cylindre

Un prisme droit est un solide qui possède deux bases identiques et parallèles (deux polygones superposables, par exemple deux triangles ou deux rectangles) reliées par des faces rectangulaires. La distance entre les deux bases est la hauteur du prisme.

Un cylindre (de révolution) ressemble à une canette : ses deux bases sont des disques identiques, reliés par une surface arrondie. La distance entre les deux disques est sa hauteur.

Le patron d'un solide

Le patron d’un solide est le dessin à plat que l’on découpe et que l’on plie pour reconstruire le solide. Le patron d’un prisme droit montre ses deux bases et ses faces rectangulaires mises côte à côte. Le patron d’un cylindre est formé de ses deux disques (le dessus et le dessous) et d’un grand rectangle qui, une fois enroulé, forme la surface arrondie.

La canette dépliée

Pour comprendre le patron d’un cylindre, imagine que tu déroules l’étiquette d’une canette de soda : elle forme un rectangle. Sa hauteur est celle de la canette, et sa longueur correspond au tour du disque (le périmètre du cercle). Ajoute le couvercle et le fond (deux disques) et tu as le patron complet.

3. Volume du prisme droit et du cylindre

Volume d'un prisme droit ou d'un cylindre

Pour un prisme droit comme pour un cylindre, le volume est égal à l’aire d’une base multipliée par la hauteur : Volume=Aire de base×hauteur\text{Volume} = \text{Aire de base} \times \text{hauteur}

L’aire de base est l’aire de l’un des deux polygones (ou disques) identiques. Si les longueurs sont en centimètres, le volume est en centimètres cubes (cm3).

Calculer le volume d'un cylindre

On connaît le rayon rr de la base et la hauteur hh du cylindre.

  1. Calculer l’aire de la base, qui est un disque : Aire de base=π×r2\text{Aire de base} = \pi \times r^2.
  2. Multiplier cette aire par la hauteur : Volume=Aire de base×h\text{Volume} = \text{Aire de base} \times h.
  3. Donner le résultat avec son unité de volume (cm3).

Exemple : un cylindre de rayon 33 cm et de hauteur 1212 cm a pour aire de base π×32≈3,14×9=28,26\pi \times 3^2 \approx 3{,}14 \times 9 = 28{,}26 cm2, donc un volume de 28,26×12≈339,1228{,}26 \times 12 \approx 339{,}12 cm3.

Le berlingot de grenadine

Un berlingot a la forme d’un prisme droit dont la base est un triangle d’aire 66 cm2. Sa hauteur est de 1010 cm. Quel est son volume ?

On applique la formule, l’aire de base étant déjà connue : Volume=Aire de base×hauteur=6×10=60 cm3\text{Volume} = \text{Aire de base} \times \text{hauteur} = 6 \times 10 = 60 \text{ cm}^3

Le berlingot a un volume de 6060 cm3.

Ne pas confondre aire de base et volume

On veut le volume d’un cylindre de rayon 33 cm et de hauteur 1212 cm.

FAUX : Volume=π×32≈28,26\text{Volume} = \pi \times 3^2 \approx 28{,}26 cm3 (on s’est arrêté à l’aire de la base et on a oublié de multiplier par la hauteur).

VRAI : le volume, c’est l’aire de base multipliée par la hauteur : Volume=(π×32)×12≈28,26×12=339,12 cm3.\text{Volume} = (\pi \times 3^2) \times 12 \approx 28{,}26 \times 12 = 339{,}12 \text{ cm}^3.

Surveille l’unité de ta réponse : une aire est en cm2, un volume en cm3.

4. Conversions de volumes et litres

Les unités de volume vont de 1000 en 1000

Pour passer d’une unité de volume à l’unité immédiatement plus petite, on multiplie par 10001000 ; pour passer à l’unité immédiatement plus grande, on divise par 10001000.

1 dm3=1000 cm31 m3=1000 dm31 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3 \qquad 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3

C’est le grand piège : les longueurs changent de 1010 en 1010, les aires de 100100 en 100100, mais les volumes de 10001000 en 10001000.

Litres, millilitres et centimètres cubes

Le litre (L) est une unité de contenance. Elle est reliée aux unités de volume par : 1 L=1 dm3=1000 cm31 L=1000 mL1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3 \qquad 1 \text{ L} = 1000 \text{ mL}

On en déduit l’égalité la plus utile de tout le chapitre : 1 cm3=1 mL1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}

Ainsi, un volume calculé en cm3 se lit directement en millilitres.

Convertir des litres en centimètres cubes

Pour convertir, par exemple, des litres en centimètres cubes :

  1. Se rappeler que 11 L =1000= 1000 cm3.
  2. Multiplier le nombre de litres par 10001000.

Exemple : 2,5 L=2,5×1000=2500 cm32{,}5 \text{ L} = 2{,}5 \times 1000 = 2500 \text{ cm}^3.

Le piège des conversions de volume

On veut convertir 2,52{,}5 L en cm3.

FAUX : 2,5 L=2,5×100=250 cm32{,}5 \text{ L} = 2{,}5 \times 100 = 250 \text{ cm}^3 (on a utilisé le ×100\times 100 des aires).

VRAI : pour les volumes, on change d’unité de 10001000 en 10001000, et 11 L =1000= 1000 cm3, donc 2,5 L=2,5×1000=2500 cm3.2{,}5 \text{ L} = 2{,}5 \times 1000 = 2500 \text{ cm}^3.

Retiens bien : longueurs de 10 en 10, aires de 100 en 100, volumes de 1000 en 1000.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Aire d'un disque de rayon 5 cm

Calculer l'aire d'un disque de rayon r=5r = 5 cm. On prendra π≈3,14\pi \approx 3{,}14.

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L'aire d'un sticker en parallélogramme

Tu veux personnaliser la coque de ton ordinateur portable avec un sticker en forme de parallélogramme. Ce sticker a une base de 1212 cm et une hauteur de 55 cm (la hauteur est mesurée perpendiculairement à la base, pas le long du côté incliné). Calculer l'aire de ce sticker.

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Quelle aire de base pour le volume d'un prisme ?

Pour calculer le volume d'un prisme droit, on utilise la formule Volume=Aire de base×hauteur\text{Volume} = \text{Aire de base} \times \text{hauteur}. Un prisme droit a pour bases deux triangles identiques. Quelle aire faut-il calculer pour obtenir l'aire de base de ce prisme ?

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Convertir 2,5 litres en centimètres cubes

Convertir 2,52{,}5 L en centimètres cubes (cm3^3).

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L'aire du flanc d'une rampe de skate

Au skatepark, le flanc latéral d'une petite rampe a la forme d'un triangle rectangle ABCABC, l'angle droit étant en BB. Le sol BC‾\overline{BC} mesure 6060 cm et le montant vertical AB‾\overline{AB} mesure 2525 cm. Tu veux recouvrir ce flanc d'un panneau de bois. Calculer l'aire de ce triangle.

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Le volume d'une canette de soda

Pendant ton stream, tu poses une canette de soda à côté du clavier. Cette canette a la forme d'un cylindre de rayon r=3r = 3 cm et de hauteur h=12h = 12 cm. Calculer son volume. On prendra π≈3,14\pi \approx 3{,}14.

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Bonus

Le berlingot de grenadine en millilitres

Un berlingot de grenadine a la forme d'un prisme droit. Sa base est un triangle d'aire 66 cm2^2 et sa hauteur est de 1010 cm. Sachant que 11 cm3=1^3 = 1 mL, combien de millilitres de grenadine ce berlingot peut-il contenir ?

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Le volume d'un bac à smoothie en litres

Dans ton stand de smoothies, tu remplis un grand bac qui a la forme d'un prisme droit à base rectangulaire. Le rectangle du fond mesure 2020 cm de longueur et 1515 cm de largeur, et le bac a une hauteur de 4040 cm. Combien de litres de smoothie ce bac peut-il contenir, une fois rempli à ras bord ? On rappelle que 11 L =1000= 1000 cm3^3.

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Questions fréquentes

Comment calculer l'aire d'un disque ?
L'aire d'un disque est égale au nombre pi multiplié par le rayon multiplié par lui-même, c'est-à-dire pi multiplié par le rayon au carré. On prend souvent pi proche de 3,14. Par exemple, pour un disque de rayon 5 cm, l'aire vaut environ 3,14 multiplié par 25, soit 78,5 centimètres carrés. Attention à utiliser le rayon et non le diamètre.
Comment calculer le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre ?
Pour un prisme droit comme pour un cylindre, le volume est égal à l'aire d'une base multipliée par la hauteur. Pour un cylindre, la base est un disque, donc on calcule d'abord l'aire du disque, puis on multiplie par la hauteur. Le résultat s'exprime dans une unité de volume comme le centimètre cube.
Combien de centimètres cubes y a-t-il dans un litre ?
Il y a 1000 centimètres cubes dans 1 litre, et aussi 1000 millilitres dans 1 litre. Un litre correspond donc à un décimètre cube. Cela donne une égalité très pratique : 1 centimètre cube est égal à 1 millilitre. Ainsi, un récipient de 2,5 litres a un volume de 2500 centimètres cubes.