Cinquième · Chapitre 9
Cours de Cinquième sur les triangles : médiatrices, médianes, hauteurs, inégalité triangulaire, construction et calcul de l'aire. Exercices corrigés pas à pas.
8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de cinquième (programme 2026) · Mis à jour en juin 2026
Tu veux découper une part de pizza bien triangulaire, dessiner un logo, ou comprendre pourquoi un panneau de signalisation a exactement cette forme ? Le triangle est la figure de base de toute la géométrie. En Cinquième, tu apprends à repérer ses droites remarquables (médiatrices, médianes, hauteurs), à savoir quand un triangle peut exister grâce à l’inégalité triangulaire, et à calculer son aire.
Ce que tu sauras faire à la fin
À quoi ça sert dans la vraie vie ?
Quand tu calcules combien de fromage couvre une part de pizza triangulaire, l’aire du triangle te donne la surface exacte. Quand un architecte vérifie qu’une charpente peut tenir, l’inégalité triangulaire lui dit si les poutres se rejoignent vraiment. Et le cercle circonscrit, c’est ce qui sert à placer un point à égale distance de trois antennes ou de trois joueurs sur un terrain. Bref : le triangle, c’est partout.
La médiatrice d'un côté
La médiatrice d’un côté d’un triangle est la droite qui passe par le milieu de ce côté en lui étant perpendiculaire.
Un point situé sur la médiatrice d’un segment est à égale distance des deux extrémités de ce segment.
La médiane
Une médiane d’un triangle est la droite qui relie un sommet au milieu du côté opposé.
Dans le triangle , la médiane issue de rejoint le milieu du côté .
La hauteur
Une hauteur d’un triangle est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement).
Dans le triangle , la hauteur issue de est perpendiculaire au côté . La longueur de cette hauteur, c’est la distance entre le sommet et la droite .
Le cercle circonscrit
Les trois médiatrices d’un triangle se croisent toutes en un même point. Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle : ce cercle passe par les trois sommets du triangle.
Comme ce centre appartient aux trois médiatrices, il est à égale distance des trois sommets : cette distance commune est le rayon du cercle circonscrit.
Inégalité triangulaire
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Pour savoir si un triangle est constructible avec trois longueurs données, il suffit de comparer le plus grand côté à la somme des deux autres :
Un exemple chiffré
Peut-on construire un triangle de côtés cm, cm et cm ?
Le plus grand côté mesure cm. La somme des deux autres vaut cm.
Comme , l’inégalité triangulaire est respectée : le triangle existe.
Attention au cas limite
FAUX : « Comme et que le troisième côté mesure cm, le triangle se construit tout juste. »
VRAI : quand le plus grand côté est égal à la somme des deux autres (), les trois points sont alignés : la figure est plate, ce n’est pas un triangle. Il faut une inégalité stricte : le plus grand côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres.
Construire un triangle dont on connaît les trois côtés
On veut tracer le triangle avec cm, cm et cm.
Construire le cercle circonscrit
Aire d'un triangle
L’aire d’un triangle est égale au produit d’une base par la hauteur correspondante, divisé par :
La hauteur est toujours mesurée perpendiculairement à la base choisie. Le résultat s’exprime en unité d’aire (cm2, m2…).
Calcul de l'aire
Un triangle a une base de cm et une hauteur de cm.
L’aire de ce triangle vaut cm2.
Un moyen de vérifier
Un triangle, c’est toujours la moitié d’un rectangle (ou d’un parallélogramme) qui aurait la même base et la même hauteur. Le rectangle de base cm et de hauteur cm a une aire de cm2 ; le triangle en fait bien la moitié, donc cm2. Si tu trouves une aire plus grande que le rectangle correspondant, c’est qu’il y a une erreur.
La hauteur n'est pas un côté oblique
FAUX : « Je prends la base et le côté incliné juste à côté, je multiplie, je divise par 2. »
VRAI : dans la formule, la hauteur est la distance perpendiculaire entre la base et le sommet opposé, pas la longueur d’un côté penché. Un côté oblique est toujours plus long que la hauteur. Il faut bien repérer la hauteur qui correspond à la base choisie (l’énoncé ou la figure indique l’angle droit).
Ne pas oublier de diviser par 2
FAUX : « base hauteur, et voilà l’aire du triangle. »
VRAI : base hauteur donne l’aire du rectangle. Pour le triangle, on divise encore par 2. Oublier cette division, c’est annoncer une aire deux fois trop grande.
Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.
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Voir l'exercice corrigéTeste-toi
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