Cinquième · Chapitre 8
Cours de Cinquième sur les angles et le parallélisme : angles alternes-internes et correspondants formés par deux droites et une sécante, et caractérisation des droites parallèles. Exercices corrigés.
8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de cinquième (programme 2026) · Mis à jour en juin 2026
Sur un plan de jeu, un terrain de basket ou un écran, on a souvent besoin de savoir si deux lignes sont vraiment parallèles. Plutôt que de mesurer leur écart partout, il existe une astuce : on trace une troisième droite qui les coupe, et on compare des angles. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à repérer les angles alternes-internes et correspondants formés par deux droites et une sécante, puis à t’en servir pour prouver que deux droites sont parallèles.
Ce que tu sauras faire
À la fin de ce chapitre, je sais :
À quoi ça sert ?
Le parallélisme est partout dès qu’on veut des lignes « bien droites côte à côte ». Sur un terrain de basket, les deux lignes de touche doivent rester parallèles d’un bout à l’autre, sinon le terrain est faussé. Quand tu poses des routes dans un jeu de construction comme Roblox, deux voies parallèles ne se rencontrent jamais. Même les rayures d’une paire de sneakers ou les lignes d’un terrain dessiné sur TikTok semblent justes parce qu’elles sont parallèles. Le souci, c’est qu’on ne peut pas vérifier le parallélisme « à l’œil ». Les angles, eux, donnent une preuve sûre : si les bons angles sont égaux, les droites sont parallèles, et on peut le démontrer.
Deux droites et une sécante
On part de deux droites et . Une troisième droite qui coupe ces deux droites s’appelle une sécante.
La sécante coupe en un point et en un autre point. À chacun de ces deux points de croisement, il se forme quatre angles. En tout, deux droites coupées par une sécante font donc huit angles, et c’est en comparant certains d’entre eux qu’on étudie le parallélisme.
Angles alternes-internes (la forme en Z)
Deux angles formés par , et une sécante sont alternes-internes lorsqu’ils sont à la fois :
Pour les reconnaître d’un coup d’œil, ils dessinent une sorte de lettre Z (ou de Z à l’envers) le long de la sécante. Sur la figure, les angles et ci-dessous sont alternes-internes.
Angles correspondants (la forme en F)
Deux angles formés par , et une sécante sont correspondants lorsqu’ils sont :
Pour les repérer, ils dessinent une sorte de lettre F (ou de F retourné). L’un est « collé » au point de croisement sur , l’autre occupe exactement la même position au point de croisement sur .
Si les droites sont parallèles, alors les angles sont égaux
C’est la première propriété, le sens le plus utilisé pour calculer une mesure d’angle.
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors :
Autrement dit : et deux angles alternes-internes (ou correspondants) ces deux angles sont égaux.
Le sens « parallèles → angles égaux »
On résume avec des angles nommés. Si et que et sont alternes-internes, alors :
De même, si et sont correspondants et que , alors :
C’est ce sens qui permet, connaissant un angle, de trouver la mesure de son partenaire.
Si les angles sont égaux, alors les droites sont parallèles
C’est la propriété inverse (la réciproque), celle qui sert à démontrer le parallélisme.
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes égaux (ou deux angles correspondants égaux), alors ces deux droites sont parallèles.
Autrement dit : deux angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure .
C’est exactement la propriété qu’on utilise quand on veut prouver, sur une figure ou un plan, que deux lignes ne se rencontreront jamais.
Trouver la mesure d'un angle quand les droites sont parallèles
On sait que les droites sont parallèles et on cherche un angle à partir d’un autre.
Exemple : , la sécante forme deux angles correspondants et , et . Comme les droites sont parallèles, .
Démontrer que deux droites sont parallèles
On veut prouver que et sont parallèles.
La phrase de conclusion doit toujours citer la propriété utilisée : c’est elle qui transforme une simple égalité d’angles en preuve de parallélisme.
Un exemple rédigé
Deux droites et sont coupées par une sécante. Elle forme un angle de sur et un angle correspondant de sur .
Les angles de et sont correspondants et ils ont la même mesure (). Or, si deux angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles. Donc et sont parallèles.
On voit que la mesure exacte () n’a pas d’importance en elle-même : ce qui compte, c’est que les deux angles soient égaux.
Astuce : la lettre Z et la lettre F
Pour ne plus confondre, suis du doigt le tracé entre les deux angles :
Dans les deux cas, droites parallèles riment avec angles égaux. Si les droites ne sont pas parallèles, les angles ne sont, en général, pas égaux.
Les pièges à éviter
Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.
Deux droites et sont coupées par une sécante. Au point de croisement avec , on a marqué l'angle ; au point de croisement avec , on a marqué l'angle . Ces deux angles sont situés tous les deux entre les deux droites, et de part et d'autre de la sécante. Comment appelle-t-on ce couple d'angles ? Justifier en deux points.
Voir l'exercice corrigéDeux droites et sont coupées par une sécante. Au point de croisement avec , on a marqué l'angle ; au point de croisement avec , on a marqué l'angle . Ces deux angles sont situés du même côté de la sécante et placés de la même façon par rapport à chacune des deux droites (tous les deux au-dessus de leur droite et à droite de la sécante). Comment appelle-t-on ce couple d'angles ? Justifier en deux points.
Voir l'exercice corrigéSur une map Roblox, tu construis deux routes droites et . Une troisième route, la sécante, traverse les deux. Elle forme un angle de avec et un angle correspondant de avec . Peux-tu affirmer que les deux routes et sont parallèles ? Justifier.
Voir l'exercice corrigéDeux droites et sont coupées par une sécante . Cette sécante forme un angle sur et un angle sur . De plus, et sont des angles correspondants. Démontrer que les droites et sont parallèles.
Voir l'exercice corrigéPour une transition sur TikTok, tu traces sur l'écran deux barres de sous-titres et que le logiciel garde parallèles. Une diagonale animée joue le rôle de sécante : elle coupe les deux barres. Au croisement avec , la diagonale forme un angle de . Au croisement avec , on observe un angle qui est adjacent (côte à côte sur la même barre) à l'angle correspondant de , et qui complète avec lui un angle plat. Quelle est la mesure de l'angle ?
Voir l'exercice corrigéLes droites et sont parallèles. Une sécante les coupe et forme deux angles alternes-internes : l'angle sur et l'angle sur . On sait que . Quelle est la mesure de l'angle ?
Voir l'exercice corrigéDans un atelier de customisation, on coud deux bandes décoratives droites et sur une basket. Une couture diagonale traverse les deux bandes et joue le rôle de sécante. Sur la bande , la couture forme un angle de . Sur la bande , on mesure un angle qui est adjacent (côte à côte sur la même bande) à l'angle alterne-interne de l'angle de , et qui complète avec lui un angle plat. Démontrer que les deux bandes et sont parallèles.
Voir l'exercice corrigéSur le plan d'un terrain de basket, on étudie deux lignes droites tracées au sol : la ligne de lancer franc et la ligne de fond . Une ligne médiane traverse les deux et joue le rôle de sécante. Au croisement avec , la médiane forme un angle de . Au croisement avec , elle forme un angle qui est adjacent supplémentaire à l'angle correspondant de : on lit . Démontrer que les lignes et sont parallèles.
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