Première pro · Chapitre 2

Probabilités

Cours de Première professionnelle sur les probabilités : univers fini, événement contraire, réunion et intersection, probabilité conditionnelle. Exercices corrigés en contexte métier.

8 exercices corrigés · Première professionnelle - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Quelle est la probabilité qu’un colis arrive intact, qu’un client fidèle passe commande, ou qu’un avis client soit positif ? Pour répondre, on s’appuie sur la notion de probabilité. Dans ce chapitre, tu apprends à manipuler un univers fini, à passer d’un événement à son contraire, à combiner deux événements par réunion et intersection, et enfin à calculer une probabilité conditionnelle - l’outil qui sert à décider, dans une boutique comme dans un entrepôt.

Ce que tu sauras faire à la fin du chapitre

Je sais calculer la probabilité d’un événement contraire ( $\overline{A}$ ).
Je sais reconnaître deux événements incompatibles et additionner leurs probabilités.
Je sais calculer la probabilité d’une réunion $A \cup B$ avec la formule générale.
Je sais lire un tableau croisé d’effectifs et en tirer des probabilités.
Je sais calculer une probabilité conditionnelle : la probabilité de $A$ sachant $B$ .

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Tu travailles dans une boutique de sneakers. Sur les commandes en ligne, $7\ \%$ des colis arrivent abîmés : quelle est la probabilité qu’un colis arrive nickel ? Tu veux mettre un produit en avant : vaut-il mieux pousser la paire qui a $75\ \%$ d’avis positifs ou le casque audio qui en a $80\ \%$  ? Et ce client qui revient toujours : est-il plus susceptible d’acheter qu’un client de passage ?

Toutes ces questions sont des probabilités. Les maîtriser, c’est savoir chiffrer une incertitude pour prendre une décision - exactement ce qu’on te demandera en entreprise.

1. Univers, événements et probabilités

Univers, issue, événement

On étudie une expérience aléatoire (son résultat dépend du hasard). L’ensemble de tous les résultats possibles s’appelle l’univers, noté $\Omega$ . Chaque résultat possible est une issue.

Un événement est un ensemble d’issues. Par exemple, tirer au hasard un article du stock et tomber sur « un article en promo » est un événement.

Ici, l’univers est toujours fini : on peut compter les issues une par une.

Probabilité d'un événement (cas d'équiprobabilité)

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (équiprobabilité), la probabilité d’un événement $A$ est :

$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}$

Une probabilité est toujours un nombre compris entre $0$ et $1$ : $0 \leqslant P(A) \leqslant 1.$ Un événement impossible a une probabilité de $0$ , un événement certain une probabilité de $1$ .

Un exemple chiffré

Dans un stock de $200$ articles, $50$ sont en promotion. On tire un article au hasard (chaque article a la même chance d’être tiré). La probabilité de l’événement $A$ « l’article est en promo » est :

$P(A) = \frac{50}{200} = \frac{1}{4} = 0{,}25.$

Autrement dit, il y a $25\ \%$ de chances de tomber sur un article en promo.

2. L’événement contraire

Événement contraire

L’événement contraire de $A$ , noté $\overline{A}$ , est l’événement « $A$ ne se réalise pas ». Si $A$ est « l’article est en promo », alors $\overline{A}$ est « l’article n’est pas en promo ».

Probabilité de l'événement contraire

Un événement et son contraire se partagent toute la certitude. Donc :

$P(\overline{A}) = 1 - P(A).$

C’est l’astuce la plus rentable du chapitre : quand le contraire est plus simple à compter, on calcule $P(\overline{A})$ d’abord.

Un colis qui arrive intact

Sur les livraisons d’un site, la probabilité qu’un colis soit endommagé est $P(E) = 0{,}07$ . La probabilité qu’un colis ne soit pas endommagé est l’événement contraire :

$P(\overline{E}) = 1 - P(E) = 1 - 0{,}07 = 0{,}93.$

Il y a donc $93\ \%$ de chances que le colis arrive en bon état.

3. Réunion, intersection et événements incompatibles

Intersection ET réunion

Soient deux événements $A$ et $B$ .

L’intersection $A \cap B$ (lire « $A$ inter $B$ ») est l’événement « $A$ et $B$ se réalisent en même temps ».
La réunion $A \cup B$ (lire « $A$ union $B$ ») est l’événement « $A$ ou $B$ se réalise » (au moins l’un des deux, éventuellement les deux).

Probabilité d'une réunion (formule générale)

Pour deux événements $A$ et $B$ quelconques :

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$

On additionne les deux probabilités, puis on retire l’intersection : sinon, les issues communes à $A$ et $B$ seraient comptées deux fois.

Événements incompatibles

Deux événements sont incompatibles (on dit aussi disjoints) quand ils ne peuvent pas se produire en même temps : leur intersection est vide, donc $P(A \cap B) = 0$ .

Par exemple, pour un même article tiré au hasard, « être en promo » et « être en rupture de stock » sont incompatibles : un article en rupture n’est pas proposé en promo.

Réunion de deux événements incompatibles

Quand $A$ et $B$ sont incompatibles, l’intersection vaut $0$ et la formule se simplifie :

$P(A \cup B) = P(A) + P(B).$

On additionne simplement les deux probabilités.

En promo OU en rupture

Dans une boutique, on tire un article au hasard. La probabilité qu’il soit en promo est $P(R) = 0{,}15$ , celle qu’il soit en rupture est $P(S) = 0{,}06$ . Ces deux événements sont incompatibles. La probabilité qu’il soit « en promo ou en rupture » est :

$P(R \cup S) = P(R) + P(S) = 0{,}15 + 0{,}06 = 0{,}21.$

Le piège de la réunion

FAUX : écrire toujours $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

VRAI : cette addition simple n’est valable que si $A$ et $B$ sont incompatibles. Dans le cas général, il faut retirer l’intersection : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$ Si tu oublies de soustraire $P(A \cap B)$ , tu comptes deux fois les cas communs et tu peux même trouver une probabilité supérieure à $1$ , ce qui est impossible. Avant d’additionner, demande-toi toujours : « ces deux événements peuvent-ils arriver ensemble ? »

4. Lire un tableau croisé d’effectifs

Du tableau aux probabilités

Un tableau croisé range une population selon deux critères. Pour en tirer des probabilités quand on choisit un individu au hasard :

Repérer l’effectif total (la case du coin, en bas à droite).
Pour un événement simple, compter l’effectif de la ligne ou de la colonne, puis diviser par le total.
Pour une intersection $A \cap B$ , lire la case croisée (la ligne de $A$ ET la colonne de $B$ ), puis diviser par le total.
Pour une réunion $A \cup B$ , appliquer $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

Clients fidèles ou occasionnels

Une boutique a observé $200$ clients, selon qu’ils sont fidèles ou occasionnels, et selon qu’ils ont acheté ou non :

	Achat ( $A$ )	Pas d’achat ( $\overline{A}$ )	Total
Fidèle ( $F$ )	$80$	$20$	$100$
Occasionnel ( $\overline{F}$ )	$30$	$70$	$100$
Total	$110$	$90$	$200$

On choisit un client au hasard. La probabilité qu’il soit « fidèle ou acheteur » est :

$P(F \cup A) = P(F) + P(A) - P(F \cap A) = \frac{100}{200} + \frac{110}{200} - \frac{80}{200} = \frac{130}{200} = 0{,}65.$

La case croisée $F \cap A$ vaut $80$ : ce sont les clients fidèles qui ont acheté, qu’il ne faut pas compter deux fois.

5. La probabilité conditionnelle

Probabilité de A sachant B

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ , notée $P_B(A)$ , est la probabilité que $A$ se réalise quand on sait déjà que $B$ est réalisé. On se place alors « à l’intérieur » de $B$ : $B$ devient le nouveau total de référence.

Calculer une probabilité conditionnelle

Pour deux événements $A$ et $B$ avec $P(B) \neq 0$ :

$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$

Avec un tableau d’effectifs, cela revient à un raccourci très simple : $P_B(A) = \frac{\text{effectif de } A \cap B}{\text{effectif de } B}.$ On ne divise plus par le total de la population, mais par l’effectif de $B$ uniquement.

Acheter sachant qu'on est fidèle

On reprend le tableau des $200$ clients. On veut la probabilité qu’un client achète sachant qu’il est fidèle. On se restreint aux $100$ clients fidèles, parmi lesquels $80$ ont acheté :

$P_F(A) = \frac{\text{effectif de } F \cap A}{\text{effectif de } F} = \frac{80}{100} = 0{,}80.$

Un client fidèle a donc $80\ \%$ de chances d’acheter, alors qu’un client de passage n’en a que $\dfrac{30}{100} = 30\ \%$ : la fidélité change vraiment la donne.

« Sachant B » : ne te trompe pas de total

FAUX : pour $P_F(A)$ (acheter sachant qu’on est fidèle), diviser par le total de la population, ici $200$ .

VRAI : « sachant $F$ » signifie qu’on ne garde que les individus de $F$ . Le dénominateur est l’effectif de $F$ (ici $100$ ), pas $200$ : $P_F(A) = \frac{80}{100} = 0{,}80 \quad \text{(et non } \tfrac{80}{200} = 0{,}40\text{)}.$ Attention aussi à l’ordre : $P_F(A)$ (acheter sachant fidèle) et $P_A(F)$ (être fidèle sachant qu’on a acheté) n’ont pas la même valeur, car les dénominateurs diffèrent.

Le réflexe « sachant »

Dès que tu lis « sachant que », « parmi les », « chez les » : c’est une probabilité conditionnelle. Le mot qui suit te donne le nouveau total (le dénominateur). « Acheter parmi les fidèles » se lit $P_F(A)$ : dénominateur = nombre de fidèles.

Comparer deux probabilités conditionnelles pour décider

Pour choisir entre deux options (quel produit mettre en avant, quel créneau privilégier…) :

Définir clairement l’événement « succès » (avis positif, achat…).
Calculer la probabilité conditionnelle pour chaque option, en divisant par l’effectif de cette option.
Comparer les deux résultats : la plus grande probabilité désigne la meilleure option.

C’est ainsi qu’on transforme un tableau de chiffres en décision argumentée.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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En promo ou en rupture

Dans le rayon d'une boutique, on tire un article au hasard dans le catalogue. La probabilité qu'il soit en promo est $P(R) = 0{,}15$ et la probabilité qu'il soit en rupture de stock est $P(S) = 0{,}06$ . Un article en rupture n'est jamais mis en promo. Calculer la probabilité que l'article tiré soit « en promo ou en rupture ».

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Un colis qui arrive intact

Une boutique en ligne de sneakers expédie ses commandes par transporteur. On sait que la probabilité qu'un colis arrive endommagé est $P(E) = 0{,}07$ . On choisit une commande au hasard. Calculer la probabilité que le colis ne soit pas endommagé.

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Un espace de stockage non saturé

Une application de stockage en ligne héberge les photos et vidéos de ses utilisateurs. À un instant donné, la probabilité qu'un compte tiré au hasard ait son espace saturé (plus de place libre) est $P(S) = 0{,}12$ . On choisit un compte au hasard. Calculer la probabilité que son espace ne soit pas saturé.

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Acheter sachant qu'on est fidèle

On reprend l'étude des $200$ clients de la boutique :

| | Achat $A$ | Pas d'achat $\overline{A}$ | Total |
|---|---|---|---|
| Fidèle $F$ | $80$ | $20$ | $100$ |
| Occasionnel $\overline{F}$ | $30$ | $70$ | $100$ |
| Total | $110$ | $90$ | $200$ |

Le gérant veut savoir si la carte de fidélité « marche ». Calculer la probabilité qu'un client achète sachant qu'il est fidèle, c'est-à-dire $P_F(A)$ .

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Fidèle ou acheteur (tableau croisé)

Le gérant d'une boutique a relevé le comportement de $200$ clients sur une journée, selon qu'ils sont fidèles ( $F$ ) ou occasionnels ( $\overline{F}$ ), et selon qu'ils ont acheté ( $A$ ) ou non ( $\overline{A}$ ) :

| | Achat $A$ | Pas d'achat $\overline{A}$ | Total |
|---|---|---|---|
| Fidèle $F$ | $80$ | $20$ | $100$ |
| Occasionnel $\overline{F}$ | $30$ | $70$ | $100$ |
| Total | $110$ | $90$ | $200$ |

On choisit un client au hasard parmi les $200$ . Calculer la probabilité de l'événement « le client est fidèle ou acheteur », c'est-à-dire $P(F \cup A)$ .

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Sur quelle plateforme jouait le gagnant ?

Un créateur de contenu organise un tournoi en ligne sur un jeu de foot. Il note, pour chacun des $200$ matchs joués, la plateforme du joueur (console PS5 ou ordinateur PC) et le résultat du match (gagné $G$ ou perdu $\overline{G}$ ) :

| | Gagné $G$ | Perdu $\overline{G}$ | Total |
|---|---|---|---|
| PS5 | $96$ | $24$ | $120$ |
| PC | $64$ | $16$ | $80$ |
| Total | $160$ | $40$ | $200$ |

On choisit un match gagné au hasard. Calculer la probabilité que le joueur ait joué sur PS5 sachant que le match a été gagné, c'est-à-dire $P_G(\text{PS5})$ .

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Abonnés sur deux plateformes

Une créatrice de recettes de cuisine publie ses vidéos à la fois sur TikTok et sur YouTube. Elle a interrogé $400$ de ses abonnés selon qu'ils la suivent sur TikTok ( $T$ ou $\overline{T}$ ) et sur YouTube ( $Y$ ou $\overline{Y}$ ) :

| | YouTube $Y$ | Pas YouTube $\overline{Y}$ | Total |
|---|---|---|---|
| TikTok $T$ | $120$ | $130$ | $250$ |
| Pas TikTok $\overline{T}$ | $80$ | $70$ | $150$ |
| Total | $200$ | $200$ | $400$ |

1. On choisit un abonné au hasard parmi les $400$ . Calculer la probabilité qu'il la suive sur TikTok ou sur YouTube, c'est-à-dire $P(T \cup Y)$ .

2. On choisit maintenant un abonné au hasard parmi ceux qui la suivent sur YouTube. Calculer la probabilité qu'il la suive aussi sur TikTok, c'est-à-dire $P_Y(T)$ .

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Bonus

Quel produit mettre en avant ?

Pour la page d'accueil de sa boutique, le gérant hésite entre mettre en avant une paire de sneakers ou un casque audio. Il dispose des avis clients laissés sur chaque produit, classés en positifs ou négatifs :

| | Avis positif | Avis négatif | Total |
|---|---|---|---|
| Sneakers | $180$ | $60$ | $240$ |
| Casque audio | $168$ | $42$ | $210$ |

Pour chaque produit, calculer la probabilité qu'un avis soit positif sachant qu'il porte sur ce produit. En déduire le produit à mettre en avant.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Comment calculer la probabilité de l'événement contraire ?

La probabilité de l'événement contraire est égale à 1 moins la probabilité de l'événement. Par exemple, si la probabilité qu'un colis soit endommagé est 0,07, alors la probabilité qu'il ne soit pas endommagé vaut 1 moins 0,07, soit 0,93. C'est très utile quand le contraire est plus simple à compter que l'événement de départ.

Quelle est la différence entre la réunion et l'intersection de deux événements ?

L'intersection de A et B est l'événement A ET B : les deux se réalisent en même temps. La réunion de A et B est l'événement A OU B : au moins l'un des deux se réalise. La probabilité de la réunion vaut la probabilité de A plus la probabilité de B moins la probabilité de l'intersection, pour ne pas compter deux fois les cas communs.

Qu'est-ce qu'une probabilité conditionnelle ?

Une probabilité conditionnelle est la probabilité qu'un événement se réalise sachant qu'un autre événement est déjà réalisé. Par exemple, la probabilité qu'un client achète sachant qu'il est fidèle. On la calcule en divisant la probabilité de l'intersection par la probabilité de l'événement déjà connu.

1. Univers, événements et probabilités

2. L’événement contraire

3. Réunion, intersection et événements incompatibles

4. Lire un tableau croisé d’effectifs

5. La probabilité conditionnelle

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Acheter sachant qu'on est fidèle

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