Quatrième · Chapitre 5

Équations du premier degré

Cours de Quatrième sur les équations du premier degré : résoudre ax + b = c et ax + b = cx + d, isoler l'inconnue, vérifier la solution, mettre un problème en équation. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de quatrième · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Combien de semaines faut-il économiser pour s’offrir une paire de sneakers ? Combien de packs faut-il ouvrir pour atteindre un objectif ? Derrière toutes ces questions se cache un nombre inconnu que l’on cherche. Une équation du premier degré est une égalité qui contient cet inconnu : la résoudre, c’est trouver la valeur qui rend l’égalité vraie. C’est l’un des outils les plus puissants des maths, parce qu’il transforme un problème en une suite de calculs simples.

Mes objectifs

À la fin de ce chapitre, je sais :

reconnaître une équation, son inconnue et ses deux membres ;
résoudre une équation du type $ax + b = c$ ;
résoudre une équation du type $ax + b = cx + d$ (inconnue des deux côtés) ;
vérifier qu’une valeur est bien solution ;
mettre un problème en équation pour le résoudre.

À quoi ça sert ?

Imagine : tu as déjà $30$ € sur toi et tu mets $5$ € de côté chaque semaine pour des sneakers à $95$ €. Combien de semaines avant de pouvoir les acheter ? Plutôt que de tâtonner « semaine après semaine », tu poses une équation et tu trouves la réponse d’un coup. Mettre en équation, c’est exactement ce que font une appli qui calcule un budget, un jeu qui équilibre une boutique, ou toi quand tu veux savoir combien de temps épargner. Tu apprends ici une méthode qui marche à tous les coups.

Équation, inconnue, membres et solution

Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu, le plus souvent noté $x$ .

Ce qui est écrit à gauche du signe $=$ est le membre de gauche ; ce qui est à droite est le membre de droite.
Une solution est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie.
Résoudre l’équation, c’est trouver toutes ses solutions.

Par exemple, dans l’équation $2x + 3 = 11$ , l’inconnue est $x$ , le membre de gauche est $2x + 3$ et le membre de droite est $11$ . La valeur $x = 4$ est solution, car $2 \times 4 + 3 = 11$ .

Équations équivalentes (la règle d'or)

Deux équations sont équivalentes quand elles ont exactement les mêmes solutions. On passe d’une équation à une équation équivalente en faisant la même opération sur les deux membres :

ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres ;
multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.

Tant que tu fais la même chose des deux côtés du signe $=$ , tu ne changes pas les solutions. C’est cette règle qui autorise tous les calculs de ce chapitre.

Résoudre une équation du type ax + b = c

On veut isoler l’inconnue, c’est-à-dire se ramener à « $x = \ldots$ ».

Éliminer le terme constant $b$ : on soustrait $b$ aux deux membres (ou on ajoute, si $b$ est négatif).
Éliminer le coefficient $a$ : on divise les deux membres par $a$ .
Vérifier : on remplace $x$ par la valeur trouvée dans l’équation de départ.

Exemple. Résolvons $2x + 3 = 11$ : $2x + 3 = 11$ $2x + 3 - 3 = 11 - 3 \quad\text{donc}\quad 2x = 8$ $\frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \quad\text{donc}\quad x = 4$

Vérification : $2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11$ . Le membre de gauche vaut $11$ , comme le membre de droite : la solution est bien $x = 4$ .

Résoudre une équation du type ax + b = cx + d

Ici l’inconnue est présente dans les deux membres. L’idée est de tout regrouper : les $x$ d’un côté, les nombres de l’autre.

Regrouper les inconnues dans un seul membre : on soustrait $cx$ aux deux membres.
Regrouper les nombres dans l’autre membre : on soustrait (ou on ajoute) le terme constant.
Diviser par le coefficient de $x$ .
Vérifier la solution.

Exemple. Résolvons $5x - 4 = 2x + 11$ : $5x - 4 = 2x + 11$ $5x - 4 - 2x = 2x + 11 - 2x \quad\text{donc}\quad 3x - 4 = 11$ $3x - 4 + 4 = 11 + 4 \quad\text{donc}\quad 3x = 15$ $\frac{3x}{3} = \frac{15}{3} \quad\text{donc}\quad x = 5$

Vérification : à gauche $5 \times 5 - 4 = 25 - 4 = 21$ ; à droite $2 \times 5 + 11 = 10 + 11 = 21$ . Les deux membres valent $21$ : la solution est bien $x = 5$ .

Mettre un problème en équation

Beaucoup d’énoncés concrets se résolvent en quatre temps :

Choisir l’inconnue : on note $x$ la grandeur cherchée et on précise ce qu’elle représente (« Soit $x$ le nombre de semaines »).
Traduire l’énoncé par une équation, en exprimant la même quantité de deux façons.
Résoudre l’équation.
Conclure par une phrase qui répond à la question posée (avec l’unité).

Exemple. Tu as $30$ € et tu ajoutes $5$ € par semaine pour des sneakers à $95$ €. Soit $x$ le nombre de semaines. La somme possédée après $x$ semaines est $30 + 5x$ , et tu veux atteindre $95$ € : $30 + 5x = 95 \quad\text{donc}\quad 5x = 65 \quad\text{donc}\quad x = 13.$ Il faut donc $13$ semaines d’épargne.

Le mémo : « ce qui change de côté change d'opération »

Pour aller plus vite, on retient souvent que faire passer un terme de l’autre côté du signe $=$ change son opération en l’opération inverse :

un terme additionné d’un côté devient soustrait de l’autre ;
un nombre qui multiplie l’inconnue d’un côté devient un diviseur de l’autre.

Ainsi $2x + 3 = 11$ donne directement $2x = 11 - 3 = 8$ , puis $x = \frac{8}{2} = 4$ . C’est exactement la même chose que la règle d’or, en plus rapide.

Les pièges à éviter

Ne traiter qu’un seul membre. ~~« $2x + 3 = 11$ donc $2x = 11$ »~~ est FAUX : on a retiré $3$ à gauche sans le retirer à droite. VRAI : on retire $3$ aux deux membres, donc $2x = 11 - 3 = 8$ .
Confondre coefficient et terme. ~~« $2x = 8$ donc $x = 8 - 2 = 6$ »~~ est FAUX : ici $2$ multiplie $x$ , on ne le retire pas, on divise. VRAI : $x = \frac{8}{2} = 4$ .
Oublier le signe en déplaçant un terme. Dans $5x - 4 = 2x + 11$ , faire passer $2x$ à gauche donne $5x - 2x$ , et faire passer $-4$ à droite donne $+4$ : on obtient $3x = 11 + 4 = 15$ , et non $3x = 11 - 4$ .
Ne pas vérifier. Remplacer $x$ par la valeur trouvée dans l’équation de départ coûte quelques secondes et évite presque toutes les erreurs.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Résoudre 3 fois x égale 21

Résoudre l'équation $3x = 21$ .

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Résoudre l'équation $x + 5 = 12$ .

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Résoudre 2 fois x plus 3 égale 11

Résoudre l'équation $2x + 3 = 11$ .

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Résoudre 5 fois x moins 4 égale 2 fois x plus 11

Résoudre l'équation $5x - 4 = 2x + 11$ .

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Bonus

Économiser pour des sneakers (mise en équation)

Tu as déjà $30$ € dans ta tirelire. Chaque semaine, tu ajoutes $5$ € pour t'offrir une paire de sneakers qui coûte $95$ €. Au bout de combien de semaines pourras-tu acheter les sneakers ? Mettre le problème en équation, puis le résoudre.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une équation du premier degré ?

C'est une égalité qui contient un nombre inconnu, souvent appelé x, et dans laquelle ce nombre n'apparaît jamais au carré ni au cube. Par exemple, 2x plus 3 égale 11 est une équation du premier degré. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie.

Comment résoudre une équation comme 2x plus 3 égale 11 ?

On isole l'inconnue petit à petit. On retire d'abord 3 dans les deux membres pour obtenir 2x égale 8, puis on divise les deux membres par 2 pour obtenir x égale 4. À chaque étape on fait la même opération des deux côtés du signe égale, ce qui ne change pas les solutions.

Pourquoi vérifier la solution d'une équation ?

La vérification permet d'être certain de ne pas s'être trompé. On remplace l'inconnue par la valeur trouvée dans l'équation de départ, puis on calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite. Si on obtient le même nombre des deux côtés, la solution est correcte.