Seconde pro · Chapitre 6

Géométrie et grandeurs

Cours de Seconde pro : calculer aires et volumes (rectangle, cylindre, pavé), utiliser Pythagore et Thalès, et comprendre l'effet d'un agrandissement. Exercices corrigés métier.

8 exercices corrigés · Seconde professionnelle - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Calculer la surface d’un comptoir pour commander le bon plan de travail, le volume d’une cuve pour savoir combien de litres elle contient, vérifier qu’une étagère est posée bien droite, estimer une hauteur impossible à mesurer à la main : la géométrie des grandeurs est partout dans un métier. Ce chapitre rassemble les outils qui reviennent le plus souvent : les aires et les volumes des figures usuelles, les théorèmes de Pythagore et de Thalès, et l’effet d’un agrandissement sur une longueur, une aire et un volume.

Ce que je dois savoir faire

Je sais calculer l’aire d’un rectangle, d’un triangle et d’un disque.
Je sais calculer le volume d’un pavé droit, d’un cube et d’un cylindre.
Je sais utiliser le théorème de Pythagore et sa réciproque (vérifier un angle droit).
Je sais utiliser le théorème de Thalès pour trouver une longueur inaccessible.
Je sais prévoir l’effet d’un agrandissement ou d’une réduction sur les longueurs, les aires et les volumes.

À quoi ça sert dans ton métier ?

Imagine que tu prépares un devis pour repeindre une réserve, ou que tu dois savoir combien de bouteilles entrent dans une cuve. Sans géométrie, tu commandes trop (tu perds de l’argent) ou pas assez (tu retournes au magasin). Avec ces formules, tu calcules la bonne quantité du premier coup. Et quand un fournisseur te livre un meuble « en plus grand », savoir que doubler les dimensions multiplie le volume par 8 t’évite de mauvaises surprises au moment du transport.

1. Les aires des figures planes

L'aire, c'est une surface

L’aire mesure la surface d’une figure plane : la place qu’elle occupe (un sol, un mur, un comptoir). Elle s’exprime en unités carrées : m², cm², km²…

À ne pas confondre avec le périmètre, qui est la longueur du tour de la figure (en m, cm…).

Les aires à connaître

Pour un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ : $\mathcal{A}_{\text{rectangle}} = L \times \ell$

Pour un carré de côté $c$ : $\ \mathcal{A}_{\text{carré}} = c \times c = c^2$ .

Pour un triangle de base $b$ et de hauteur $h$ (la hauteur relative à cette base) : $\mathcal{A}_{\text{triangle}} = \frac{b \times h}{2}$

Pour un disque de rayon $r$ : $\mathcal{A}_{\text{disque}} = \pi \times r^2$

Aire d'un comptoir

Un comptoir d’accueil est un rectangle de $L = 2{,}4$ m de long et $\ell = 0{,}8$ m de large. Son aire vaut : $\mathcal{A} = L \times \ell = 2{,}4 \times 0{,}8 = 1{,}92 \ \text{m}^2.$ Il faut donc commander un plan de travail couvrant un peu plus de $1{,}92$ m².

2. Les volumes des solides usuels

Le volume, c'est un espace occupé

Le volume mesure la place dans l’espace occupée par un solide (ce qu’il peut contenir). Il s’exprime en unités cubes : m³, cm³, dm³…

Lien utile avec les litres : $\ 1 \ \text{dm}^3 = 1 \ \text{L}$ , donc $1 \ \text{m}^3 = 1000 \ \text{L}$ .

Les volumes à connaître

Pavé droit (forme d’une boîte, d’un carton) de dimensions $L$ , $\ell$ et hauteur $h$ : $V_{\text{pavé}} = L \times \ell \times h$

Cube de côté $c$ : $\ V_{\text{cube}} = c \times c \times c = c^3$ .

Cylindre de rayon de base $r$ et de hauteur $h$ (forme d’une cuve, d’une canette) : $V_{\text{cylindre}} = \pi \times r^2 \times h$

Astuce de lecture : pour le pavé comme pour le cylindre, on calcule l’aire de la base puis on multiplie par la hauteur.

Volume d'une réserve d'eau

Une réserve d’eau cylindrique a un rayon $r = 0{,}5$ m et une hauteur $h = 1{,}2$ m. Son volume vaut : $V = \pi \times r^2 \times h = \pi \times 0{,}5^2 \times 1{,}2 = \pi \times 0{,}3 \approx 0{,}94 \ \text{m}^3.$ Comme $1 \ \text{m}^3 = 1000 \ \text{L}$ , la réserve contient environ $0{,}94 \times 1000 \approx 942$ litres.

Piège : confondre les unités d'aire et de volume

FAUX : « Le rayon est en mètres, donc le volume du cylindre est en m². »

VRAI : une aire se mesure en unités carrées (m²) ; un volume se mesure en unités cubes (m³). Repère le bon résultat avec les formules : $\pi \times r^2$ (aire, on multiplie deux longueurs) donne des m² ; $\pi \times r^2 \times h$ (volume, trois longueurs) donne des m³.

3. Le théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit, le plus long) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , alors : $BC^2 = AB^2 + AC^2$

Calculer une longueur avec Pythagore

Repérer l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit) ; au carré, elle doit être seule d’un côté de l’égalité.
Écrire l’égalité de Pythagore.
Pour l’hypoténuse : additionner les carrés, puis prendre la racine.
Pour un côté de l’angle droit : isoler ce côté ( $AB^2 = BC^2 - AC^2$ ), donc soustraire les carrés, puis prendre la racine.

Exemple : si $AB = 3$ m et $AC = 4$ m, alors $BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ , donc $BC = \sqrt{25} = 5$ m.

Réciproque du théorème de Pythagore

Soit un triangle $ABC$ dont $[BC]$ est le plus grand côté. Si $BC^2 = AB^2 + AC^2,$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ (l’angle droit se trouve au sommet opposé au plus grand côté).

C’est la réciproque que l’on utilise pour prouver qu’un angle est droit, par exemple pour vérifier qu’une étagère ou un cadre est bien posé d’équerre.

Vérifier qu'un angle est droit

Repérer le plus grand côté : c’est lui qui jouerait le rôle d’hypoténuse.
Calculer séparément deux nombres :
- $d_1 = (\text{plus grand côté})^2$ ;
- $d_2 = (\text{somme des carrés des deux autres côtés})$ .
Comparer : si $d_1 = d_2$ , le triangle est rectangle (réciproque) ; si $d_1 \neq d_2$ , il n’est pas rectangle (contraposée).

Mémo de chantier : un triangle de côtés $3 - 4 - 5$ (ou $30 - 40 - 50$ , $60 - 80 - 100$ …) a toujours un angle droit.

4. Le théorème de Thalès

Théorème de Thalès

On considère deux droites sécantes en un point $A$ . Un point $B$ et un point $M$ sont sur la première, un point $C$ et un point $N$ sur la seconde, avec $A$ , $B$ , $M$ d’une part et $A$ , $C$ , $N$ d’autre part alignés dans le même ordre.

Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors les longueurs sont proportionnelles : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$

Calculer une hauteur inaccessible avec Thalès

On utilise un objet vertical de hauteur connue (un piquet, une règle) placé entre l’oeil de l’observateur et l’objet à mesurer, les deux verticales étant parallèles.

Faire un schéma et nommer les points (sommet de la visée, base du piquet, base de l’objet…).
Vérifier que les deux verticales sont parallèles, puis écrire l’égalité de Thalès avec les bons rapports.
Isoler la longueur cherchée en utilisant le produit en croix.
Calculer, puis vérifier que l’ordre de grandeur est cohérent (l’objet est plus haut que le piquet).

Hauteur d'une enseigne

L’oeil est au sol en $A$ . Un piquet vertical $[DE]$ de hauteur $DE = 1{,}5$ m est posé à $AD = 2$ m. En visant le haut de l’enseigne $[BC]$ (verticale) située à $AB = 8$ m, on aligne $A$ , $E$ et $C$ . Comme $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles, Thalès donne : $\frac{BC}{DE} = \frac{AB}{AD} \quad \Rightarrow \quad BC = DE \times \frac{AB}{AD} = 1{,}5 \times \frac{8}{2} = 6 \ \text{m}.$ L’enseigne est donc à $6$ m de haut.

5. Agrandissement et réduction

Coefficient d'agrandissement-réduction

Agrandir (ou réduire) une figure ou un solide, c’est multiplier toutes ses dimensions par un même nombre $k > 0$ , appelé coefficient (ou échelle).

Si $k > 1$ , c’est un agrandissement ; si $0 < k < 1$ , c’est une réduction.

Effet sur les longueurs, les aires et les volumes

Quand on multiplie toutes les dimensions par un coefficient $k$ :

les longueurs sont multipliées par $k$ ;
les aires sont multipliées par $k^2$ ;
les volumes sont multipliés par $k^3$ .

Piège : tout multiplier par k

FAUX : « Je multiplie les longueurs par $1{,}5$ , donc le volume aussi est multiplié par $1{,}5$ . »

VRAI : seules les longueurs sont multipliées par $k$ . Le volume, lui, est multiplié par $k^3$ . Pour $k = 1{,}5$ : $k^3 = 1{,}5^3 = 1{,}5 \times 1{,}5 \times 1{,}5 = 3{,}375.$ Le volume est donc multiplié par $3{,}375$ , et non par $1{,}5$ . (De même, une aire serait multipliée par $k^2 = 2{,}25$ .)

Le mémo des puissances 1, 2, 3

Pour ne plus te tromper, retiens l’ordre des dimensions :

une longueur a $1$ dimension $\rightarrow$ coefficient $k^1 = k$ ;
une aire a $2$ dimensions $\rightarrow$ coefficient $k^2$ ;
un volume a $3$ dimensions $\rightarrow$ coefficient $k^3$ .

L’exposant est le nombre de dimensions : facile à retrouver même sans réviser.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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L'aire de la rampe de skate

Dans un skatepark, le flanc latéral d'une rampe a la forme d'un triangle rectangle. Sa base au sol mesure $b = 2{,}5$ m et sa hauteur verticale mesure $h = 1{,}8$ m. Tu dois habiller ce flanc avec une plaque de contreplaqué. Calcule l'aire de ce triangle, en m $^2$ .

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L'aire du comptoir d'accueil

Pour aménager l'accueil d'une boutique, tu dois faire poser un plan de travail sur un comptoir rectangulaire de $L = 2{,}4$ m de long et $\ell = 0{,}8$ m de large. Calcule l'aire de ce comptoir, en m $^2$ .

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Le volume de la réserve d'eau

Le food-truck est équipé d'une réserve d'eau en forme de cylindre. Son rayon de base est $r = 0{,}5$ m et sa hauteur est $h = 1{,}2$ m. Calcule le volume de la réserve, arrondi au centième de m $^3$ , puis donne ce volume en litres (on rappelle que $1$ m $^3 = 1000$ L).

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L'étagère murale est-elle bien d'équerre ?

Tu poses une étagère murale dans la réserve de la boutique. Pour vérifier que l'équerre de support forme bien un angle droit avec le mur, tu mesures les trois côtés du triangle qu'elle dessine : $60$ cm le long du mur, $80$ cm le long de l'étagère et $100$ cm pour la diagonale (la barre de renfort). L'angle entre le mur et l'étagère est-il bien droit ?

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La diagonale du support d'écran

Pour fixer un écran de retransmission au mur d'une salle, un installateur pose une équerre de renfort en forme de triangle rectangle $ABC$ , rectangle en $B$ . Le côté vertical contre le mur mesure $AB = 0{,}9$ m et le côté horizontal sous l'écran mesure $BC = 1{,}2$ m. La barre de renfort est l'hypoténuse $[AC]$ . Calcule la longueur $AC$ de cette barre, en mètres.

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La hauteur du lampadaire avec Thalès

On veut connaître la hauteur d'un lampadaire vertical sans grimper dessus. L'oeil de l'observateur est au sol en $A$ . Un piquet vertical $[DE]$ de hauteur $DE = 1{,}5$ m est planté à $AD = 2$ m de l'observateur. En visant le sommet du lampadaire $[BC]$ (vertical) situé à $AB = 8$ m, les points $A$ , $E$ et $C$ sont alignés. Les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles. Calcule la hauteur $BC$ du lampadaire.

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La cuve de boisson du food-truck

Un food-truck vend une boisson maison stockée dans une cuve cylindrique de rayon de base $r = 0{,}4$ m et de hauteur $h = 0{,}9$ m.

Partie A. Calcule le volume de la cuve, arrondi au centième de m $^3$ , puis donne sa capacité en litres (on rappelle que $1$ m $^3 = 1000$ L).

Partie B. Comme l'affaire marche bien, le gérant veut une cuve plus grande dont toutes les dimensions sont multipliées par $1{,}5$ . Par combien la capacité est-elle multipliée ? Donne la nouvelle capacité, arrondie au litre.

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Bonus

Repeindre le local, puis l'agrandir

Le local de stockage d'un service de livraison est un pavé droit de longueur $L = 5$ m, de largeur $\ell = 4$ m et de hauteur $h = 2{,}5$ m.

Partie A. On repeint uniquement les 4 murs (ni le sol, ni le plafond). Il faut retirer la porte ( $2$ m $^2$ ) et une fenêtre ( $1{,}5$ m $^2$ ) qui ne se peignent pas. La peinture s'applique en 2 couches et un litre couvre $10$ m $^2$ . Combien de litres de peinture faut-il prévoir ?

Partie B. Pour un futur entrepôt, on projette un local identique dont toutes les dimensions sont multipliées par $1{,}5$ . Par combien le volume est-il multiplié ? Calcule le nouveau volume.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Comment calculer le volume d'un cylindre ?

On multiplie l'aire du disque de base par la hauteur. L'aire du disque vaut pi multiplié par le rayon au carré. Donc le volume d'un cylindre est égal à pi multiplié par le rayon au carré, multiplié par la hauteur. Avec un rayon de 0,5 m et une hauteur de 1,2 m, le volume vaut environ 0,94 metre cube, soit environ 942 litres.

Comment vérifier qu'un angle est droit sans rapporteur ?

On mesure les trois côtés du triangle, puis on utilise la réciproque du théorème de Pythagore. On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres côtés. Si les deux résultats sont égaux, l'angle opposé au plus grand côté est un angle droit. C'est la méthode utilisée sur un chantier avec le triangle 3-4-5.

Que devient un volume quand on multiplie toutes les longueurs par un même nombre ?

Si on multiplie toutes les dimensions d'un solide par un coefficient k, alors les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k au carré et les volumes sont multipliés par k au cube. Par exemple, si on multiplie toutes les dimensions par 1,5, le volume est multiplié par 1,5 au cube, c'est-à-dire par 3,375.

1. Les aires des figures planes

2. Les volumes des solides usuels

3. Le théorème de Pythagore

4. Le théorème de Thalès

5. Agrandissement et réduction

Exercices corrigés

L'aire de la rampe de skate

L'aire du comptoir d'accueil

Le volume de la réserve d'eau

L'étagère murale est-elle bien d'équerre ?

La diagonale du support d'écran

La hauteur du lampadaire avec Thalès

La cuve de boisson du food-truck

Repeindre le local, puis l'agrandir

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Questions fréquentes

L'étagère murale est-elle bien d'équerre ?