Troisième · Chapitre 9

Proportionnalité et pourcentages

Cours de 3e sur la proportionnalité et les pourcentages : tableau, quatrième proportionnelle, appliquer un taux, coefficient multiplicateur, vitesse moyenne. Exercices corrigés brevet.

10 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de troisième · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Proportionnalité et vitesses

La proportionnalité décrit deux grandeurs qui varient « au même rythme » : doubler l’une double l’autre. C’est l’outil pour les recettes, les prix, les échelles, mais aussi pour les pourcentages et les vitesses. Tout repose sur un seul nombre : le coefficient par lequel on multiplie pour passer d’une grandeur à l’autre.

Situation de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’on obtient les valeurs de l’une en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Dans un tableau, cela se lit ligne par ligne : $\text{2}^\text{e}\text{ ligne} = k \times \text{1}^\text{re}\text{ ligne}$ Le coefficient $k$ se retrouve en divisant une valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.

Reconnaître une proportionnalité dans un tableau

Pour chaque colonne, calculer le quotient $\dfrac{\text{valeur du bas}}{\text{valeur du haut}}$ :

si tous les quotients sont égaux, le tableau est proportionnel et ce quotient commun est le coefficient $k$ ;
s’il y a au moins un quotient différent, ce n’est pas une situation de proportionnalité.

Quatrième proportionnelle (produit en croix)

Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux. Pour le tableau


$a$	$b$
$c$	$x$

on a $a \times x = b \times c$ , donc la quatrième proportionnelle vaut : $x = \dfrac{b \times c}{a}$

Appliquer un pourcentage

Prendre $t\%$ d’une quantité $N$ , c’est en calculer la fraction $\dfrac{t}{100}$ : $t\% \text{ de } N = N \times \dfrac{t}{100}$ Par exemple, $15\%$ de $200$ valent $200 \times \dfrac{15}{100} = 30$ . Un pourcentage est une situation de proportionnalité de coefficient $\dfrac{t}{100}$ .

Augmenter ou diminuer d'un pourcentage

Augmenter $N$ de $t\%$ , c’est multiplier par le coefficient $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)$ .
Diminuer $N$ de $t\%$ , c’est multiplier par le coefficient $\left(1 - \dfrac{t}{100}\right)$ .

Ce nombre est le coefficient multiplicateur (CM) de l’évolution. Ainsi, augmenter de $20\%$ revient à multiplier par $1{,}20$ , et diminuer de $25\%$ à multiplier par $0{,}75$ .

Évolutions successives : on multiplie les coefficients

Lorsqu’une quantité subit plusieurs évolutions à la suite, le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients : $\text{CM}_{\text{global}} = \text{CM}_1 \times \text{CM}_2 \times \dots \times \text{CM}_n$ Les pourcentages ne s’additionnent pas. Le taux global se retrouve ensuite avec $t = (\text{CM}_{\text{global}} - 1) \times 100$ .

Grandeurs composées : la vitesse moyenne

La vitesse moyenne $v$ est le quotient de la distance $d$ parcourue par la durée $t$ du trajet : $v = \dfrac{d}{t}$ On en déduit aussi $d = v \times t$ et $t = \dfrac{d}{v}$ . Avec une distance en kilomètres et une durée en heures, la vitesse est en kilomètres par heure (km/h).

Autres grandeurs composées (débit)

Une grandeur composée est le quotient de deux grandeurs. Sur le même modèle que la vitesse :

un débit est un volume divisé par une durée : $D = \dfrac{V}{t}$ (par exemple en L/min) ;
penser toujours à convertir pour que les unités soient cohérentes : $1\text{ h} = 60\text{ min}$ , donc $1\text{ h }30\text{ min} = 1{,}5\text{ h}$ , et $15\text{ min} = \dfrac{15}{60}\text{ h} = 0{,}25\text{ h}$ .

Les pièges classiques

Demi-heure mal convertie : $1\text{ h }30$ vaut $1{,}5\text{ h}$ et non $1{,}30\text{ h}$ (car $30\text{ min} = 0{,}5\text{ h}$ ).
Pourcentages d’évolutions successives : $-20\%$ puis $-30\%$ ne fait pas $-50\%$ mais $0{,}80 \times 0{,}70 = 0{,}56$ , soit $-44\%$ .
Sens du produit en croix : la quatrième proportionnelle s’obtient en multipliant les deux nombres « en diagonale » puis en divisant par le troisième.

Un livreur à vélo effectue sa tournée en deux temps. Il parcourt d'abord $12$ km à la vitesse moyenne de $12$ km/h, puis $30$ km à la vitesse moyenne de $15$ km/h. Un ami affirme que sa vitesse moyenne sur tout le trajet est de $13{,}5$ km/h (la moyenne de $12$ et $15$ ). A-t-il raison ? Calculer la vitesse moyenne réelle sur l'ensemble du trajet.

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Questions fréquentes

Comment reconnaître une situation de proportionnalité dans un tableau ?

Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant une valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.

Qu'est-ce que la quatrième proportionnelle et comment la calculer ?

C'est la valeur manquante d'un tableau de proportionnalité. On la calcule avec le produit en croix : dans un tableau où a et b sont alignés, et c sous a, la valeur x sous b vaut x = b × c divisé par a.

Comment calculer une vitesse moyenne ?

La vitesse moyenne est le quotient de la distance par la durée : v = d divisé par t. Si la distance est en kilomètres et la durée en heures, la vitesse est en km/h. Il faut penser à convertir les durées (1 h 30 min = 1,5 h).