Cinquième · Chapitre 7

Symétrie centrale

Cours de Cinquième sur la symétrie centrale : symétrique d'un point, d'un segment, d'une figure par rapport à un centre, propriétés et demi-tour. Exercices corrigés de géométrie.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de cinquième (programme 2026) · Mis à jour en juin 2026

Tu sais déjà replier une feuille pour fabriquer une image « miroir » : c’est la symétrie axiale, vue en Sixième. Cette année, tu découvres une autre transformation, la symétrie centrale. Cette fois, on ne plie plus la feuille le long d’une droite : on fait faire à la figure un demi-tour complet autour d’un point, le centre de symétrie. Tu vas apprendre à construire le symétrique d’un point, d’un segment et d’une figure entière, et à reconnaître les figures qui possèdent un centre de symétrie.

Ce que tu sauras faire

Je sais construire le symétrique d’un point par rapport à un centre $O$ .
Je sais construire le symétrique d’un segment, puis d’une figure, par rapport à un centre $O$ .
Je connais les propriétés conservées par la symétrie centrale (longueurs, angles, alignement, milieux, aires).
Je sais reconnaître si une figure possède un centre de symétrie.
Je sais faire la différence entre symétrie axiale (par rapport à une droite) et symétrie centrale (par rapport à un point).

À quoi ça sert ?

Regarde une manette de jeu, le logo central d’un maillot de basket, certaines cartes à jouer ou un motif de pixel art sur Roblox : beaucoup d’images sont construites pour rendre « pareil » quand on les retourne tête en bas. C’est exactement la symétrie centrale. Les graphistes s’en servent pour créer des logos qui restent lisibles à l’envers, les game designers pour fabriquer des niveaux et des motifs équilibrés. Et toi, tu vas t’en servir pour construire des figures précises et comprendre pourquoi un parallélogramme « tient debout » de la même façon dans les deux sens.

1. Le symétrique d’un point

Symétrique d'un point par rapport à un centre

Soit un point $O$ (le centre) et un point $A$ .

Le symétrique du point $A$ par rapport au centre $O$ est le point $A'$ tel que le point $O$ soit le milieu du segment $[AA']$ .

Autrement dit, $A'$ est « de l’autre côté » de $O$ , aligné avec $A$ et $O$ , et à la même distance de $O$ : on a $OA = OA'$ .

Cas particulier : si le point $A$ est confondu avec le centre $O$ , alors son symétrique est lui-même ( $A' = A$ ).

Symétrie centrale = demi-tour

La symétrie de centre $O$ revient à faire faire à toute la figure un demi-tour (une rotation d’un angle plat, c’est-à-dire $180°$ ) autour du point $O$ .

C’est pour cette raison qu’une figure et son symétrique apparaissent « tête en bas » l’une par rapport à l’autre, sans être retournées comme dans un miroir.

Construire le symétrique d'un point à la règle

On cherche le symétrique $A'$ du point $A$ par rapport au centre $O$ .

Trace la demi-droite qui part de $A$ et qui passe par $O$ (la règle posée sur $A$ et $O$ ).
Mesure la longueur $OA$ à la règle.
De l’autre côté de $O$ , sur cette même droite, place le point $A'$ tel que $OA' = OA$ .

Le point $A'$ est alors le symétrique de $A$ : les points $A$ , $O$ et $A'$ sont alignés, et $O$ est le milieu de $[AA']$ .

L'astuce du quadrillage

Sur du papier quadrillé, pas besoin de mesurer ! Compte les déplacements pour aller de $A$ jusqu’à $O$ (par exemple : « $3$ carreaux à droite et $2$ carreaux vers le haut »), puis reproduis exactement le même déplacement à partir de $O$ pour placer $A'$ . Comme $O$ doit être le milieu de $[AA']$ , on refait le même trajet « en continuant » de l’autre côté.

2. Le symétrique d’un segment et d’une figure

Construire le symétrique d'un segment

Pour construire le symétrique d’un segment $[AB]$ par rapport au centre $O$ , on n’a pas besoin de tous ses points : il suffit de placer les symétriques de ses deux extrémités.

Construis $A'$ , le symétrique de $A$ par rapport à $O$ .
Construis $B'$ , le symétrique de $B$ par rapport à $O$ .
Trace le segment $[A'B']$ : c’est le symétrique de $[AB]$ .

Comme la symétrie centrale conserve les longueurs, on a toujours $A'B' = AB$ .

Symétrique d'un triangle ou d'un polygone

Pour le symétrique d’un triangle $ABC$ (ou de n’importe quel polygone), on applique la même idée : on construit le symétrique de chaque sommet.

On place $A'$ , $B'$ puis $C'$ , symétriques respectifs de $A$ , $B$ et $C$ par rapport à $O$ , puis on relie $A'$ , $B'$ et $C'$ . Le triangle $A'B'C'$ obtenu a exactement la même forme et la même taille que $ABC$ : ils sont superposables, mais $A'B'C'$ est « à l’envers ».

Ce que la symétrie centrale conserve

La symétrie centrale ne déforme rien : une figure et son symétrique sont superposables. La symétrie centrale conserve :

les longueurs (un segment et son symétrique ont la même longueur) ;
les angles (un angle et son symétrique ont la même mesure) ;
les aires (une figure et son symétrique ont la même aire) ;
l’alignement des points et le milieu d’un segment.

De plus, le symétrique d’une droite est une droite qui lui est parallèle. Seule l’orientation change : la figure est pivotée d’un demi-tour, donc elle apparaît « tête en bas ».

3. Centre de symétrie d’une figure

Centre de symétrie

On dit qu’une figure possède un centre de symétrie $O$ lorsque cette figure est sa propre image par la symétrie de centre $O$ .

Concrètement : si tu fais faire à la figure un demi-tour autour de $O$ , elle se superpose exactement à elle-même (on retrouve le même dessin).

Des figures qui ont un centre de symétrie

Voici les figures à connaître :

le parallélogramme a un centre de symétrie : c’est le point d’intersection de ses diagonales ;
le rectangle, le losange et le carré (qui sont des parallélogrammes particuliers) ont aussi pour centre de symétrie l’intersection de leurs diagonales ;
le cercle a pour centre de symétrie son propre centre ;
en revanche, un triangle quelconque ou isocèle n’a pas de centre de symétrie.

Attention : avoir un axe de symétrie et avoir un centre de symétrie, ce sont deux choses différentes (voir l’encadré plus bas).

Le test du demi-tour

Pour savoir si une figure a un centre de symétrie, fais (en vrai ou dans ta tête) tourner la feuille d’un demi-tour, c’est-à-dire de $180°$ : retourne-la « tête en bas » autour du point soupçonné d’être le centre. Si le dessin retombe exactement sur lui-même, alors ce point est bien un centre de symétrie. Sinon, ce n’en est pas un. C’est le test le plus sûr.

Le piège : centre de symétrie et axe de symétrie

FAUX : « Une figure qui a des axes de symétrie a forcément un centre de symétrie » (et inversement). C’est l’erreur la plus fréquente.

VRAI : ce sont deux propriétés indépendantes.

Un triangle équilatéral possède $3$ axes de symétrie… mais aucun centre de symétrie (fais-lui faire un demi-tour : une pointe se retrouve en bas, ça ne coïncide pas).
Un parallélogramme quelconque possède un centre de symétrie… mais aucun axe de symétrie.

Avant de répondre, demande-toi bien : on me parle d’un pli (axe, une droite) ou d’un demi-tour (centre, un point) ?

Ne pas confondre les deux transformations

FAUX : construire le symétrique d’un point « comme un miroir », en restant du même côté du centre.

VRAI : dans la symétrie centrale, le point $A$ , le centre $O$ et l’image $A'$ sont alignés, et $O$ est entre $A$ et $A'$ (c’est son milieu). L’image part donc toujours de l’autre côté du centre. Si tes points $A$ , $O$ , $A'$ ne sont pas alignés, c’est qu’il y a une erreur de construction.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

Gratuit · corrigé

Construire le symétrique d'un point

Sur une feuille, on a placé un point $O$ et un point $A$ tels que $OA = 3$ cm. Construis le point $A'$ , symétrique du point $A$ par rapport au centre $O$ . Décris ta construction et donne la longueur $OA'$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Le logo de la manette a-t-il un centre de symétrie ?

Sur le logo d'une manette de jeu, on remarque deux boutons identiques et bien placés : un rond sur la gauche et un rond sur la droite, exactement à la même hauteur, à égale distance du point central $O$ du logo. Ce point central $O$ est-il un centre de symétrie pour ce motif des deux boutons ? Justifie ta réponse.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Construire le symétrique d'un segment

Sur du papier quadrillé, on place le centre $O$ et un segment $[AB]$ . Pour aller du point $A$ jusqu'au centre $O$ , on se déplace de $4$ carreaux vers la droite et de $1$ carreau vers le haut. Pour aller du point $B$ jusqu'au centre $O$ , on se déplace de $2$ carreaux vers la droite et de $3$ carreaux vers le bas. Construis le segment $[A'B']$ , symétrique de $[AB]$ par rapport à $O$ , en décrivant le déplacement qui mène à $A'$ puis à $B'$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Construire le symétrique d'un triangle

On donne un triangle $ABC$ et un point $O$ situé à l'extérieur du triangle. On sait que $AB = 5$ cm, $BC = 4$ cm et $AC = 3$ cm. Construis le triangle $A'B'C'$ , symétrique du triangle $ABC$ par rapport au centre $O$ . Quelles sont les longueurs des côtés de $A'B'C'$  ?

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Le sticker symétrique sur la grille

Tu prépares la coque de ton téléphone sur une appli de design qui affiche un quadrillage où chaque carreau mesure $1$ cm. Tu choisis un carreau central $O$ et tu colles un petit sticker en un point $S$ . Pour aller du sticker $S$ jusqu'au centre $O$ , on se déplace de $6$ carreaux vers la droite et de $2$ carreaux vers le bas. Tu veux coller un deuxième sticker au point $S'$ , symétrique de $S$ par rapport à $O$ . Donne le déplacement qui mène de $O$ à $S'$ , puis explique pourquoi le déplacement total de $S$ à $S'$ est de $12$ carreaux vers la droite et $4$ carreaux vers le bas.

Voir l'exercice corrigé

Bonus

Compléter le pixel art pour un centre de symétrie

Pour ton skin de Roblox, tu dessines un motif en pixel art sur un quadrillage. Tu choisis un carreau central $O$ . Trois pixels sont déjà coloriés, repérés par leur position par rapport à $O$ : le pixel $P_1$ est à $2$ carreaux à gauche et $1$ carreau au-dessus de $O$ ; le pixel $P_2$ est à $1$ carreau à gauche et $1$ carreau au-dessus de $O$ ; le pixel $P_3$ est à $2$ carreaux à gauche et $2$ carreaux au-dessus de $O$ . Quels pixels dois-tu colorier en plus pour que le motif complet admette $O$ comme centre de symétrie ? Donne la position de chacun par rapport à $O$ .

Débloquer l'exercice

Gratuit · corrigé

Le centre de symétrie de l'écran

L'écran d'une tablette a la forme d'un rectangle $ABCD$ . Un développeur veut afficher un bouton pile au centre de l'écran, à l'endroit où les deux diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se croisent ; il appelle ce point $O$ . On sait que la diagonale $[AC]$ mesure $12$ cm. Explique pourquoi $O$ est le centre de symétrie de l'écran, puis calcule les longueurs $OA$ et $OB$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Quels badges ont un centre de symétrie ?

Une marque de sneakers hésite entre trois badges de logo, et veut savoir lesquels gardent la même allure quand on les regarde tête en bas, c'est-à-dire lesquels possèdent un centre de symétrie. On note $O$ le point central de chaque badge. Badge 1 : deux virgules identiques disposées tête-bêche, l'une en haut à gauche et l'autre en bas à droite, chacune étant l'image de l'autre par un demi-tour autour de $O$ . Badge 2 : un seul triangle isocèle qui pointe vers le haut, $O$ étant son centre. Badge 3 : un motif en croix « + » formé de quatre branches identiques partant de $O$ (haut, bas, gauche, droite). Pour chacun des trois badges, indique s'il possède $O$ comme centre de symétrie, en justifiant par le test du demi-tour.

Voir l'exercice corrigé

Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

Commencer le quiz

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la symétrie centrale ?

La symétrie centrale par rapport à un point O est la transformation qui fait faire un demi-tour à une figure autour de ce point O. Le symétrique d'un point A par rapport à O est le point A prime tel que O soit le milieu du segment qui relie A et A prime. Tout se passe comme si on faisait tourner la figure d'un demi-tour, soit un angle plat, autour du centre O.

Quelle est la différence entre symétrie axiale et symétrie centrale ?

La symétrie axiale se fait par rapport à une droite, qui joue le rôle d'un miroir et inverse la gauche et la droite, comme un pli de la feuille. La symétrie centrale se fait par rapport à un point et correspond à un demi-tour autour de ce point. Dans une symétrie centrale, la figure n'est pas retournée comme dans un miroir : elle est juste pivotée à l'envers, tête en bas.

Qu'est-ce qu'un centre de symétrie d'une figure ?

Une figure possède un centre de symétrie O lorsqu'elle est sa propre image par la symétrie de centre O, c'est-à-dire qu'elle se superpose exactement à elle-même après un demi-tour autour de O. Par exemple, un parallélogramme a un centre de symétrie qui est le point d'intersection de ses diagonales, et un cercle a pour centre de symétrie son propre centre.

1. Le symétrique d’un point

2. Le symétrique d’un segment et d’une figure

3. Centre de symétrie d’une figure

Exercices corrigés

Construire le symétrique d'un point

Le logo de la manette a-t-il un centre de symétrie ?

Construire le symétrique d'un segment

Construire le symétrique d'un triangle

Le sticker symétrique sur la grille

Compléter le pixel art pour un centre de symétrie

Le centre de symétrie de l'écran

Quels badges ont un centre de symétrie ?

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Questions fréquentes

Le logo de la manette a-t-il un centre de symétrie ?