Quatrième · Chapitre 3

Puissances et notation scientifique

Cours de Quatrième sur les puissances et la notation scientifique : puissances d'un nombre, puissances de 10 (exposants positifs et négatifs), règles de calcul. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de quatrième · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Carrés et cubes

Quand on parle d’un smartphone de 256 Go, du nombre de vues d’une vidéo virale ou de la taille d’un fichier en kilo-octets, on manipule des nombres soit gigantesques, soit minuscules. Les puissances sont une écriture raccourcie qui évite d’aligner des dizaines de zéros, et la notation scientifique est la façon propre dont les ingénieurs, les scientifiques (et ta calculatrice) écrivent ces nombres. Une fois la mécanique comprise, tu gagnes un temps fou.

Ce que tu sauras faire à la fin

Je sais ce que signifie une puissance $a^n$ et je sais la calculer.
Je connais les puissances de 10, avec un exposant positif ou négatif.
Je sais écrire un nombre en notation scientifique $a \times 10^n$ .
Je sais multiplier et diviser des puissances de 10 en jouant avec les exposants.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Ton téléphone affiche « 128 Go » ? Derrière, ça fait environ $128\,000\,000\,000$ octets. Plutôt que d’écrire ce monstre avec ses zéros, on l’écrit $1{,}28 \times 10^{11}$ octets : c’est plus court, plus lisible, et impossible de se tromper en comptant les zéros.

Pareil pour les très petits nombres : l’épaisseur d’un cheveu, le poids d’un pixel de données… La notation scientifique, c’est le langage commun des sciences, de l’informatique et de ta calculatrice (qui affiche 1.28 E11).

1. La puissance d’un nombre

Puissance d'un nombre

Soit $a$ un nombre et $n$ un entier supérieur ou égal à $1$ . La puissance $a^n$ (on lit « $a$ puissance $n$ ») est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ : $a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}$

Le nombre $a$ s’appelle la base, et l’entier $n$ s’appelle l’exposant.

L’exposant compte le nombre de facteurs, pas le nombre de multiplications. Pour $2^4$ , il y a bien quatre $2$ dans le produit :

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$

Deux exposants à connaître par cœur

L’exposant $2$ se lit « au carré » : $a^2 = a \times a$ . Par exemple $5^2 = 25$ .
L’exposant $3$ se lit « au cube » : $a^3 = a \times a \times a$ . Par exemple $2^3 = 8$ .
Par convention, $a^1 = a$ : un seul facteur.

Piège : la puissance n'est pas une multiplication

FAUX : $2^4 = 2 \times 4 = 8$ .

VRAI : $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ . L’exposant $4$ veut dire « quatre fois le facteur $2$ », et pas « $2$ fois $4$ ». Confondre les deux est l’erreur numéro un sur ce chapitre : à chaque fois, repose-toi la question « combien de facteurs $a$ dois-je écrire ? ».

2. Les puissances de 10

Puissances de 10 à exposant positif

Pour un exposant entier $n$ supérieur ou égal à $1$ : $10^n = 1\underbrace{00\dots0}_{n \text{ zéros}}$

L’exposant indique le nombre de zéros après le $1$ .

Par exemple :

$10^1 = 10 \qquad 10^2 = 100 \qquad 10^3 = 1\,000 \qquad 10^6 = 1\,000\,000$

Ainsi, écrire $1\,000$ sous la forme d’une puissance de $10$ , c’est compter ses zéros : il y en a $3$ , donc $1\,000 = 10^3$ .

Puissances de 10 à exposant négatif

Une puissance de $10$ avec un exposant négatif désigne un nombre plus petit que $1$ : $10^{-n} = \frac{1}{10^n} = 0{,}\underbrace{0\dots0}_{n-1 \text{ zéros}}1$

L’exposant négatif $-n$ indique alors le rang du chiffre 1 après la virgule.

Par exemple :

$10^{-1} = \frac{1}{10} = 0{,}1 \qquad 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01 \qquad 10^{-3} = \frac{1}{1\,000} = 0{,}001$

Le truc pour ne pas se tromper de signe

Retiens ce repère simple :

exposant positif $\rightarrow$ grand nombre (plus grand que $1$ ), on compte les zéros après le $1$ ;
exposant négatif $\rightarrow$ petit nombre (entre $0$ et $1$ ), le $1$ se cache après la virgule.

Et $10^0 = 1$ : c’est la frontière entre les deux mondes.

3. La notation scientifique

Notation scientifique

La notation scientifique d’un nombre est son écriture sous la forme $a \times 10^n$ où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \leqslant a < 10$ (un seul chiffre non nul avant la virgule), et $n$ est un entier relatif (positif, négatif ou nul).

Le nombre $a$ s’appelle le facteur, et $10^n$ la puissance de 10. La condition $1 \leqslant a < 10$ est essentielle : elle rend l’écriture unique.

Écrire un nombre en notation scientifique

Repérer le premier chiffre non nul du nombre : c’est lui qui se place avant la virgule de $a$ .
Écrire $a$ avec ce chiffre, une virgule, puis les chiffres significatifs suivants (avec $1 \leqslant a < 10$ ).
Compter de combien de rangs la virgule a été déplacée pour trouver l’exposant $n$ $n$ :
- si le nombre de départ est grand (supérieur à $10$ ), alors $n$ est positif ;
- si le nombre de départ est petit (entre $0$ et $1$ ), alors $n$ est négatif.

Exemple : $48\,000 = 4{,}8 \times 10^4$ (la virgule recule de $4$ rangs, le nombre est grand donc $n = 4$ ).

Un grand nombre : la capacité d'une carte mémoire

Une carte mémoire de $256$ Go, sachant que $1$ Go vaut environ $10^9$ octets, contient : $256 \times 10^9 \text{ octets}.$

Mais $256$ n’est pas compris entre $1$ et $10$ : ce n’est pas encore la notation scientifique. On réécrit $256 = 2{,}56 \times 10^2$ , donc : $256 \times 10^9 = 2{,}56 \times 10^2 \times 10^9 = 2{,}56 \times 10^{11} \text{ octets}.$

Un petit nombre : le passage à l'écriture décimale

Le nombre $3{,}2 \times 10^6$ se calcule en déplaçant la virgule de $6$ rangs vers la droite (l’exposant est positif, le nombre devient grand) : $3{,}2 \times 10^6 = 3\,200\,000.$

À l’inverse, $4{,}7 \times 10^{-5}$ a un exposant négatif : la virgule recule de $5$ rangs vers la gauche, le nombre devient petit : $4{,}7 \times 10^{-5} = 0{,}000\,047.$

4. Calculer avec les puissances de 10

Produit et quotient de puissances de 10

Pour multiplier deux puissances de $10$ , on additionne les exposants ; pour diviser, on soustrait les exposants : $10^m \times 10^n = 10^{m+n} \qquad \qquad \frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}$

Ces règles fonctionnent quels que soient les signes de $m$ et de $n$ .

Par exemple, pour le produit :

$10^5 \times 10^{-2} = 10^{5 + (-2)} = 10^3 = 1\,000$

Et pour un quotient :

$\frac{10^7}{10^4} = 10^{7-4} = 10^3 = 1\,000$

Piège : on touche aux exposants, pas à la base

FAUX : $10^5 \times 10^{-2} = 100^{3}$ ou $10^5 \times 10^{-2} = 10^{5 \times (-2)} = 10^{-10}$ .

VRAI : $10^5 \times 10^{-2} = 10^{5 + (-2)} = 10^{3}$ . Dans un produit de puissances de $10$ , on garde la base $10$ et on additionne les exposants (on ne les multiplie pas, et on ne change pas la base). Le signe compte : $5 + (-2) = 3$ , et non $5 - (-2) = 7$ .

Pourquoi cette règle marche

C’est juste du comptage de zéros ! $10^5 \times 10^{-2} = \dfrac{100\,000}{100} = 1\,000 = 10^3$ . On enlève les $2$ zéros du dénominateur aux $5$ zéros du numérateur : il en reste $5 - 2 = 3$ . Additionner les exposants, c’est exactement compter les zéros qui survivent.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer deux puissance quatre

Calculer la puissance $2^4$ en détaillant le produit.

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Écrire mille comme une puissance de dix

Écrire le nombre $1\,000$ sous la forme d'une puissance de $10$ , c'est-à-dire sous la forme $10^n$ .

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Les portions du festival food-truck en notation scientifique

Pendant un grand festival de food-trucks, les organisateurs annoncent que $7\,500\,000$ portions ont été servies sur le week-end. Écrire ce nombre de portions en notation scientifique.

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Calculer un produit de puissances de dix

Calculer le produit $10^5 \times 10^{-2}$ et donner le résultat sous la forme d'une puissance de $10$ , puis en écriture décimale.

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La capacité de la carte mémoire en octets

Tu installes une carte mémoire de $256$ Go dans ta console pour stocker tes jeux. On sait que $1$ Go vaut environ $10^9$ octets. Exprimer la capacité de cette carte en octets, en notation scientifique.

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Partager le stockage du serveur entre les utilisateurs

Le serveur d'une plateforme de streaming dispose de $10^{11}$ octets d'espace de stockage, répartis équitablement entre ses $10^4$ utilisateurs. Calculer l'espace, en octets, attribué à chaque utilisateur. Donner le résultat sous la forme d'une puissance de $10$ , puis en écriture décimale.

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Combien de porte-clés avec une bobine de filament

Dans un atelier d'impression 3D, une bobine de filament neuve pèse $8 \times 10^2$ grammes. L'impression d'un porte-clés consomme $4 \times 10^{-1}$ grammes de filament. En supposant qu'aucune matière n'est perdue, calculer le nombre de porte-clés que l'on peut imprimer avec une bobine complète. Donner le résultat en notation scientifique, puis en écriture décimale.

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Bonus

Passer de l'écriture décimale à la notation scientifique (et inversement)

Une appli de streaming mesure le poids des données échangées. Le poids d'une image de profil compressée est $0{,}000\,047$ Go, et une vidéo virale a généré $3{,}2 \times 10^6$ vues. a. Écrire $0{,}000\,047$ en notation scientifique. b. Écrire le nombre de vues $3{,}2 \times 10^6$ en écriture décimale.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une puissance d'un nombre ?

Une puissance est une écriture raccourcie d'une multiplication d'un même nombre par lui-même. Par exemple, 2 puissance 4 signifie 2 multiplié par 2 multiplié par 2 multiplié par 2, ce qui donne 16. Le nombre du dessous s'appelle la base et le petit nombre en haut s'appelle l'exposant : il indique combien de fois la base est répétée dans le produit.

Qu'est-ce que la notation scientifique d'un nombre ?

La notation scientifique consiste à écrire un nombre sous la forme d'un nombre décimal compris entre 1 et 10 (exclu) multiplié par une puissance de 10. Par exemple, 256 milliards d'octets s'écrit 2,56 multiplié par 10 puissance 11. Elle sert à manipuler facilement les très grands nombres et les très petits nombres, comme les capacités de stockage ou les tailles de fichiers.

Comment multiplier deux puissances de 10 ?

Pour multiplier deux puissances de 10, on additionne les exposants. Par exemple, 10 puissance 5 multiplié par 10 puissance moins 2 est égal à 10 puissance 3, car 5 plus moins 2 donne 3. De la même façon, pour diviser deux puissances de 10, on soustrait les exposants.