Seconde pro · Chapitre 3

Équations et inéquations du premier degré

Cours de Seconde pro : traduire un problème par une équation ou une inéquation du premier degré à une inconnue et la résoudre. Devis, seuil de rentabilité, abonnement. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Seconde professionnelle - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Combien de menus peux-tu commander avec le billet que tu as en poche ? À partir de combien de ventes ton food-truck commence-t-il vraiment à gagner de l’argent ? Au bout de combien de séances un abonnement à la salle devient-il plus intéressant que le ticket à l’unité ? Toutes ces questions se traduisent par une équation ou une inéquation du premier degré : une fois le problème mis en « langage mathématique », il suffit d’appliquer une méthode mécanique pour trouver la réponse.

Ce que tu sauras faire à la fin du chapitre

Je sais traduire un énoncé par une équation ou une inéquation du premier degré à une inconnue.
Je sais résoudre une équation du premier degré du type $ax + b = c$ .
Je sais résoudre une inéquation du premier degré et donner ses solutions.
Je sais vérifier ma solution et interpréter le résultat dans le contexte (un nombre de cartons, de menus, de séances…).

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Dans le commerce et la gestion, on cherche tout le temps une valeur qu’on ne connaît pas encore : le nombre d’articles à vendre pour rembourser un coût, le prix d’une place quand on connaît le total payé, le nombre de mois avant qu’une offre devienne rentable…

Au lieu de tester au hasard, tu poses une inconnue (tu l’appelles $x$ ), tu écris ce que dit l’énoncé sous forme d’égalité ou d’inégalité, et la résolution te donne directement la réponse. C’est l’outil de base du devis, de la facture et du seuil de rentabilité.

Équation du premier degré à une inconnue

Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu (noté $x$ ) qui apparaît seulement au premier degré : jamais $x^2$ , jamais $x^3$ .

Elle peut toujours se ramener à la forme : $ax + b = c$ où $a$ , $b$ et $c$ sont des nombres connus, avec $a \neq 0$ .

Résoudre l’équation, c’est trouver la valeur de $x$ qui rend l’égalité vraie. Cette valeur s’appelle la solution.

Les deux règles qui ne changent pas une égalité

On peut transformer une équation sans changer sa solution, à condition de faire la même chose des deux côtés du signe $=$ :

Ajouter ou retrancher un même nombre dans les deux membres.
Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.

C’est ce qui permet de « faire passer » un terme de l’autre côté : en réalité, on ajoute ou on retranche le même nombre partout.

Résoudre une équation du premier degré $ax + b = c$

Isoler le terme en $x$ : on retranche (ou on ajoute) $b$ dans les deux membres pour ne garder que $ax$ d’un côté.
Isoler $x$ : on divise les deux membres par $a$ (le nombre placé devant $x$ ).
Vérifier : on remplace $x$ par la valeur trouvée dans l’équation de départ ; les deux membres doivent être égaux.
Conclure par une phrase qui répond à la question posée.

Exemple : résoudre $2{,}5x + 4 = 19$ . $2{,}5x + 4 = 19$ $2{,}5x = 19 - 4 = 15 \quad (\text{on retranche } 4)$ $x = \frac{15}{2{,}5} = 6 \quad (\text{on divise par } 2{,}5)$

Vérification : $2{,}5 \times 6 + 4 = 15 + 4 = 19$ . La solution est $x = 6$ .

Inéquation du premier degré à une inconnue

Une inéquation du premier degré ressemble à une équation, mais le signe $=$ est remplacé par un signe d’inégalité : $<, \quad \leq, \quad >, \quad \geq.$

Par exemple $7{,}90\,x \leq 50$ se lit « $7{,}90$ fois $x$ est inférieur ou égal à $50$ ».

Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l’inégalité vraie. La réponse n’est donc pas un seul nombre, mais un ensemble de solutions (par exemple « $x \leq 6{,}3$ »).

Résoudre une inéquation du premier degré

On procède exactement comme pour une équation (on regroupe les $x$ d’un côté, les nombres de l’autre, puis on divise par le coefficient de $x$ ), avec une seule règle en plus :

Quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité ( $<$ devient $>$ , et inversement).

Exemple : résoudre $4x + 3 \geq 23$ . $4x \geq 23 - 3 = 20 \quad (\text{on retranche } 3)$ $x \geq \frac{20}{4} = 5 \quad (\text{on divise par } 4 > 0,\ \text{le sens ne change pas})$

Les solutions sont tous les nombres $x \geq 5$ .

Mettre un problème en équation (ou en inéquation)

Choisir l’inconnue : repérer la grandeur cherchée et écrire « Soit $x$ le nombre de… ». Préciser son unité.
Traduire l’énoncé : transformer chaque information en calcul sur $x$ (un total, une recette, un coût…).
Écrire l’(in)équation : poser l’égalité ou l’inégalité demandée par la question.
Résoudre avec la méthode ci-dessus.
Interpréter : revenir au contexte. Si $x$ compte des objets ou des personnes, la réponse doit être un nombre entier cohérent (on arrondit dans le bon sens).

Exemple complet : le seuil de rentabilité d'un food-truck

Un food-truck vend chaque plat $12$ €. Pour une journée, les frais fixes (emplacement, gaz, salaire) s’élèvent à $200$ €, plus $4$ € de matières premières par plat. À partir de combien de plats vendus la journée devient-elle rentable, c’est-à-dire la recette dépasse-t-elle le coût ?

Inconnue. Soit $x$ le nombre de plats vendus dans la journée.

Traduction. La recette est $12x$ (en euros). Le coût total est $200 + 4x$ (en euros).

Inéquation. La journée est rentable lorsque la recette dépasse le coût : $12x > 200 + 4x$

Résolution. $12x - 4x > 200 \quad (\text{on retranche } 4x)$ $8x > 200$ $x > \frac{200}{8} = 25 \quad (\text{on divise par } 8 > 0)$

Interprétation. Comme $x$ est un nombre entier de plats, il faut $x > 25$ , donc au moins $26$ plats vendus pour que la journée soit rentable. (À $25$ plats : recette $300$ €, coût $300$ €, on est à l’équilibre exact.)

Le piège du nombre négatif dans une inéquation

On résout $-2x < 8$ .

FAUX : « je divise par $-2$ et je garde le sens, donc $x < -4$ . »

VRAI : on divise les deux membres par $-2$ , qui est négatif, donc on change le sens de l’inégalité : $x > \frac{8}{-2} = -4.$ La solution est $x > -4$ (et non $x < -4$ ).

Pour t’en convaincre, teste $x = 0$ : $-2 \times 0 = 0 < 8$ , c’est vrai. Or $0 > -4$ : c’est bien la solution « supérieur ».

Les autres erreurs fréquentes

Oublier d’appliquer l’opération aux deux membres. Si on retranche $4$ à gauche, on retranche $4$ à droite aussi.
Mal placer le quotient. Pour finir $2{,}5x = 15$ , on divise $15$ par $2{,}5$ , donc $x = \frac{15}{2{,}5} = 6$ , et non $x = \frac{2{,}5}{15}$ .
Confondre « dépasser » et « atteindre ». « La recette dépasse le coût » se traduit par un signe strict ( $>$ ) ; « atteindre au moins » se traduit par $\geq$ . Lis bien l’énoncé.
Donner un résultat non entier là où il faut compter. $x \leq 6{,}3$ menus signifie au plus $6$ menus : on ne commande pas $0{,}3$ menu.

Le réflexe de la vérification

Une équation du premier degré, ça se vérifie tout seul : remplace $x$ par ta solution dans l’énoncé de départ et vérifie que les deux côtés sont égaux. Si l’égalité tombe juste, ta réponse est sûre ; sinon, tu as fait une erreur de calcul à reprendre. C’est l’autocontrôle le plus rapide du chapitre.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

Gratuit · corrigé

Combien de cartons pour ranger le stock ?

Dans la réserve d'une boutique, on doit ranger $91$ articles dans des cartons. Chaque carton contient exactement $7$ articles, et tous les cartons sont remplis. On note $x$ le nombre de cartons utilisés. L'énoncé se traduit par l'équation $7x = 91$ . Résoudre cette équation, puis donner le nombre de cartons.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Combien de mois d'abonnement streaming ?

Une plateforme de streaming facture $6{,}99$ € par mois, plus une seule fois $5$ € de frais d'activation lors de l'inscription. Au moment de fermer le compte, le relevé indique un total payé de $46{,}94$ €. On note $x$ le nombre de mois d'abonnement. La situation se traduit par l'équation $6{,}99\,x + 5 = 46{,}94$ . Résoudre cette équation pour trouver le nombre de mois.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Combien de places de concert achetées ?

Pour un concert, chaque place coûte $2{,}50$ €. Le site ajoute une seule fois $4$ € de frais de réservation pour toute la commande. Le total payé est de $19$ €. On note $x$ le nombre de places achetées. La situation se traduit par l'équation $2{,}5x + 4 = 19$ . Résoudre l'équation pour trouver $x$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Combien de menus avec 50 euros ?

Lors d'une commande groupée pour la classe, chaque menu coûte $7{,}90$ €. On dispose d'un budget de $50$ €. On note $x$ le nombre de menus commandés. Écrire l'inéquation qui traduit « la dépense ne dépasse pas le budget », la résoudre, puis dire combien de menus au maximum on peut commander.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Deux ateliers de personnalisation au même prix

Deux ateliers personnalisent des paires de sneakers. L'atelier A facture $15$ € de mise en route, puis $8$ € par paire. L'atelier B facture $35$ € de mise en route, puis $6$ € par paire. On note $x$ le nombre de paires personnalisées. Déterminer pour combien de paires les deux ateliers facturent exactement le même prix.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Le seuil de rentabilité d'une production

Un atelier fabrique des bracelets personnalisés qu'il vend $12$ € pièce. La production d'une journée coûte $200$ € de frais fixes, plus $4$ € de matière par bracelet. On note $x$ le nombre de bracelets vendus. La recette $12x$ doit dépasser le coût $200 + 4x$ pour que la journée soit rentable. Écrire l'inéquation et déterminer à partir de combien de bracelets la journée devient rentable.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Combien de vidéos enregistrer sur le téléphone ?

Un téléphone dispose de $128$ Go de stockage. Le système et les applications occupent déjà $40$ Go. Chaque vidéo enregistrée pèse $0{,}75$ Go. Pour que le téléphone reste fluide, on veut conserver au moins $20$ Go d'espace libre. On note $x$ le nombre de vidéos enregistrées. Écrire l'inéquation qui traduit « l'espace libre reste au moins égal à $20$ Go », la résoudre, puis donner le nombre maximal de vidéos.

Voir l'exercice corrigé

Bonus

Quelle formule de salle de sport choisir ?

Une salle de sport propose deux formules. Formule A « sans engagement » : on paie $8$ € par séance. Formule B « abonnement » : on paie $60$ € d'inscription, puis $2$ € par séance. On note $x$ le nombre de séances effectuées dans l'année. À partir de combien de séances la formule B (abonnement) revient-elle moins cher que la formule A ?

Débloquer l'exercice

Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

Commencer le quiz

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une équation du premier degré à une inconnue ?

C'est une égalité qui contient un nombre inconnu, souvent noté x, qui apparaît seulement au premier degré, c'est-à-dire jamais au carré ni au cube. Par exemple 2,5 fois x plus 4 égale 19 est une équation du premier degré. Résoudre cette équation, c'est trouver la valeur de x qui rend l'égalité vraie.

Comment résout-on une équation du premier degré ?

On regroupe les termes qui contiennent l'inconnue d'un côté du signe égal et les nombres seuls de l'autre côté, en faisant la même opération dans les deux membres. On termine en divisant par le nombre placé devant l'inconnue pour isoler x. On peut toujours vérifier en remplaçant x par la valeur trouvée.

Quelle est la différence entre une équation et une inéquation ?

Une équation utilise le signe égal et donne en général une seule solution. Une inéquation utilise un signe d'inégalité comme inférieur ou supérieur, et donne tout un ensemble de solutions, par exemple x inférieur ou égal à 6. Attention : quand on divise les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, il faut changer le sens de l'inégalité.

Exercices corrigés

Combien de cartons pour ranger le stock ?

Combien de mois d'abonnement streaming ?

Combien de places de concert achetées ?

Combien de menus avec 50 euros ?

Deux ateliers de personnalisation au même prix

Le seuil de rentabilité d'une production

Combien de vidéos enregistrer sur le téléphone ?

Quelle formule de salle de sport choisir ?

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Questions fréquentes

Combien de cartons pour ranger le stock ?

Combien de places de concert achetées ?

Combien de menus avec 50 euros ?

Quelle formule de salle de sport choisir ?